- Point de césure
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En analyse, un point de césure désigne un point d'irrégularité du comportement d'une série entière à la frontière de son disque de convergence.
Pour une série entière de terme général an et de rayon de convergence fini non nul R, un point de césure désigne un point complexe z du cercle de centre 0 et de rayon R au voisinage duquel la somme f ne se prolonge pas en une fonction analytique.
Exemples
Existence des points de césure
Généricité des points de césure
Non seulement il existe des séries entières pour lesquelles tout point du cercle de convergence est un point de césure, mais cette situation est générique (en un sens probabiliste) :
Soit une suite infinie (an) de nombres complexes et R, presque sûrement, pour une suite θn de réels, le série entière
est de rayon de convergence R et tous les points du cercle de centre 0 et de rayon R en sont des points de césure.On peut fort bien supposer les an positifs ou nuls. La somme f de la série entière
est bien définie sur le disque ouvert de rayon R. Il suffit de démontrer que presque sûrement elle ne se prolonge pas en une fonction analytique au voisinage de tout point rationnel du cercle de rayon R, c'est-à-dire les points de la forme e2iπp / q. La démonstration s’appuie sur le lemme de Borel-Cantelli.
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