Graphe de Möbius-Kantor

Graphe de Möbius-Kantor
Représentation du graphe de Möbius-Kantor
Nombre de sommets	16
Nombre d'arêtes	24
Distribution des degrés	3-régulier
Rayon	4
Diamètre	4
Maille	6
Automorphismes	96
Nombre chromatique	2
Indice chromatique	3
Propriétés	Régulier Cubique Hamiltonien Cayley Parfait Symétrique Arête-transitif Sommet-transitif Distance-unité
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Le graphe de Möbius-Kantor est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 16 sommets et 24 arêtes.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Möbius-Kantor, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe de Möbius-Kantor est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Möbius-Kantor est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2 et est de degrés 16. Il est égal à : (x − 1)x(x¹⁴ − 23x¹³ + 253x¹² − 1771x¹¹ + 8855x¹⁰ − 33625x⁹ + 100515x⁸ − 241471x⁷ + 470570x⁶ − 743126x⁵ + 938926x⁴ − 922082x³ + 665670x² − 315822x + 74037).

Propriétés algébriques

Le graphe de Möbius-Kantor est symétrique, c'est-à-dire que son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses arêtes, ses sommets et ses arcs. Son groupe d'automorphismes est d'ordre 96.

Le polynôme caractéristique du graphe de Möbius-Kantor est : (x − 3)(x − 1)³(x + 1)³(x + 3)(x² − 3)⁴.

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Möbius-Kantor Graph (MathWorld)
• (en) Andries E. Brouwer, Möbius-Kantor graph

Références

• Portail des mathématiques