- Graphe de Herschel
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Graphe de Herschel 
Représentation du graphe de HerschelNombre de sommets 11 Nombre d'arêtes 18 Distribution des degrés 3 (8 sommets)
4 (3 sommets)Rayon 3 Diamètre 4 Maille 4 Automorphismes 12 Nombre chromatique 2 Indice chromatique 4 Propriétés Biparti
Parfait
Planairemodifier 
Le graphe de Herschel est, en théorie des graphes, un graphe possédant 11 sommets et 18 arêtes. Il doit son nom à l'astronome Alexander Stewart Herschel (en) qui le découvrit en 1862[1].
Sommaire
Propriétés
Propriétés générales
Le diamètre du graphe de Herschel, l'excentricité maximale de ses sommets, est 4, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Coloriage
Le nombre chromatique du graphe de Herschel est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
L'indice chromatique du graphe de Herschel est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 2 et est de degrés 11. Il est égal à : (x − 1)x(x9 − 17x8 + 136x7 − 671x6 + 2254x5 − 5355x4 + 9002x3 − 10306x2 + 7254x − 2371).
Propriétés algébriques
Le groupe d'automorphismes du graphe de Herschel est un groupe d'ordre 12 isomorphe au groupe diédral D6, le groupe des isométries du plan conservant un hexagone. Ce groupe est constitué de 6 éléments correspondant aux rotations et de 6 autres correspondant aux réflexions.
Le polynôme caractéristique du graphe de Herschel est : − x3( − 11 + x2)( − 3 + x2)( − 2 + x2)2.
Voir aussi
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein, « Herschel Graph », MathWorld
Référence
- (en) A. S. Herschel, « Sir Wm. Hamilton's Icosian Game », dans Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 5, 1862, p. 305 [texte intégral]
Catégorie :- Graphe remarquable
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