Graphe de Brinkmann

Graphe de Brinkmann
Représentation du graphe de Brinkmann.
Nombre de sommets	21
Nombre d'arêtes	42
Distribution des degrés	4-régulier
Rayon	3
Diamètre	3
Maille	5
Automorphismes	14
Nombre chromatique	4
Indice chromatique	5
Propriétés	Eulérien Hamiltonien
modifier

Le graphe de Brinkmann est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 21 sommets et 42 arêtes.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Brinkmann, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 3 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 5. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe de Brinkmann est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 3-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Brinkmann est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degrés 21. Il est égal à : x²¹ - 42x²⁰ + 861x¹⁹ - 11480x¹⁸ + 111881x¹⁷ - 848708x¹⁶ + 5207711x¹⁵ - 26500254x¹⁴ + 113675219x¹³ - 415278052x¹² + 1299042255x¹¹ - 3483798283x¹⁰ + 7987607279x⁹ - 15547364853x⁸ + 25384350310x⁷ - 34133692383x⁶ + 36783818141x⁵ - 30480167403x⁴ + 18168142566x³ - 6896700738x² + 1242405972x.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe de Brinkmann est un groupe d'ordre 14 isomorphe au groupe diédral D₇, le groupe des isométries du plan conservant un heptagone régulier. Ce groupe est constitué de 7 éléments correspondant aux rotations et de 7 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique du graphe de Brinkmann est : (x − 4)(x − 2)(x + 2)(x³ − x² − 2x + 1)²(x⁶ + 3x⁵ − 8x⁴ − 21x³ + 27x² + 38x − 41)².

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes
• Cage (théorie des graphes)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Brinkmann Graph (MathWorld)

Références

• Portail des mathématiques