- Formule de Tanaka
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En calcul stochastique, la formule de Tanaka s'écrit :
où Bt est un mouvement brownien standard, sgn denote la fonction signe :
et Lt est le temps local en 0 du mouvement brownien B (le temps local passé par B en 0 jusqu'au temps t). Celui-ci est donné par la limite dans L2 suivante :
La formule de Tanaka correspond à la décomposition de Doob–Meyer explicite de la sous-martingale |Bt| en sa partie martingale (l'integrale du membre de droite), et son processus croissant continu (le temps local). On peut aussi voir cette formule comme une analogue du Lemme d'Itô pour la fonction valeur absolue (que n'est pas régulière) f(x) = | x | , avec f'(x) = sgn(x) et f''(x) = 2δ(x).
Outline of proof
La fonction |x| n'est pas de classe C2 en x en x = 0, donc il n'est pas possible d'appliquer le Lemme d'Itô directement. Mais si on approxime cette fonction au voisinage de 0 (i.e. sur l'intervalle[−ε, ε]) par les paraboles :
On peut alors utiliser le Lemme d'Itô et prendre la limite lorsque ε → 0, pour obtenir la formule de Tanaka.
Références
- (en) Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, Berlin, Springer, 2003 (Example 5.3.2)
- (en) Albert N. Shiryaev, Essentials of stochastic finance: Facts, models, theory, River Edge, NJ, World Scientific Publishing Co. Inc., 1999
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Tanaka's formula » (voir la liste des auteurs).
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![L_{t} = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac1{2 \varepsilon} | \{ s \in [0, t] | B_{s} \in (- \varepsilon, + \varepsilon) \} |.](e/f8e9b15a74eb69953777b44a28438633.png)
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