Element entier

Element entier

Élément entier

Un élément b d'une algèbre commutative unitaire B sur un anneau commutatif unitaire A est dit entier sur A s'il existe un polynôme unitaire à coefficients dans A s'annulant sur b.

Dans le cas du corps \mathbb{C} vu une algèbre sur l'anneau \mathbb{Z} des entiers relatifs, les éléments entiers sont les entiers algébriques.

On montre que b est entier sur A si et seulement si le sous-A-module A[b] de B, constitué des éléments de la forme P(b), P(X)\in A[X], est de type fini sur A. En particulier, si A est noethérien et si B est de type fini sur A (en tant que A-module), alors tout élément de B est entier sur A. Dans le cas général, l'ensemble des éléments de B entiers sur A est une sous-A-algèbre de B. Cet ensemble est appelé la fermeture intégrale de A dans B.

Si A est intègre et si B est égal au corps des fractions de A, la clôture intégrale de A dans B est aussi appelée la clôture intégrale de A. En géométrie algébrique, cela correspond à la normalisation du schéma défini par A. Si A est égal à son clôture intégrale, on dit que A est intégralement clos ou normal.

On dit que B est entière sur A si tout élément de B est entier sur A. Une algèbre entière sur une algèbre entière sur A est entière sur A.

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