Algèbre de Toeplitz

Algèbre de Toeplitz

En théorie des algèbres d'opérateurs, l'algèbre de Toeplitz \mathcal T est la C*-algèbre universelle engendrée par une isométrie S non unitaire. En clair, ce générateur vérifie :

S^*S=1\qquad\text{mais}\qquad SS^*\ne1.

Si on définit l'élément P de cette algèbre par P: = 1 − SS * , on obtient, comme pour toute isométrie, les relations :

PS=0\qquad\text{et}\qquad S^*P=0.

Sommaire

Réalisation concrète

Considérons l'espace de Hilbert \mathcal H:=l^2(\N). On peut définir l'opérateur de décalage (en) (shift en anglais) S sur \mathcal H en posant : Sen = en + 1. La sous-algèbre involutive normiquement fermée des opérateurs bornés sur \mathcal H engendrée par S est une réalisation de l'algèbre de Toeplitz \mathcal T.

Suite exacte courte

L'algèbre \mathbb{K} des opérateurs compacts peut se réaliser dans \mathcal T grâce à l'injection \iota \colon e_{i,j} \mapsto (S^*)^i P S^j (i,j\in\N). On obtient en fait une suite exacte courte de C*-algèbres :

0\to\mathbb{K}\to\mathcal T\to C(\mathbb{T})\to0

où C(\mathbb{T}) est l'algèbre de fonctions continues sur le cercle unité \mathbb{T} et le morphisme de \mathcal T dans C(\mathbb{T}) est celui qui à S associe le générateur z\mapsto z de C(\mathbb{T}).

K-théorie

La K-théorie de cette algèbre est :

K_0(\mathcal T)=\Z\qquad\text{et}\qquad K_1(\mathcal T)=0.

Références

  • (en) M. Rørdam, F. Larsen et N. Lausten, An Introduction to K-Theory for C*-Algebras, CUP, 2000 [lire en ligne], p. 167-168 
  • (en) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications, 1993 

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre de Toeplitz de Wikipédia en français (auteurs)

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