- 42-graphe de Grinberg
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42-graphe de Grinberg 
Représentation planaire du 42-graphe de Grinberg.Nombre de sommets 42 Nombre d'arêtes 63 Distribution des degrés 3-régulier Rayon 6 Diamètre 7 Maille 4 Automorphismes 4 (Z/2Z×Z/2Z) Nombre chromatique 3 Indice chromatique 3 Propriétés Cubique
Planaire
Sans trianglemodifier 
Le 42-graphe de Grinberg est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 42 sommets et 63 arêtes.
Sommaire
Propriétés
Propriétés générales
Le diamètre du 42-graphe de Grinberg, l'excentricité maximale de ses sommets, est 7, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.
Le 42-graphe de Grinberg peut être construit à partir du 44-graphe de Grinberg en supprimant une certaine arête ainsi que ses deux extrémités[1].
Coloriage
Le nombre chromatique du 42-graphe de Grinberg est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.
L'indice chromatique du 42-graphe de Grinberg est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.
Propriétés algébriques
Le groupe d'automorphismes du 42-graphe de Grinberg est un groupe abélien d'ordre 4 isomorphe à Z/2Z×Z/2Z, le groupe de Klein.
Le polynôme caractéristique du 42-graphe de Grinberg est : (x − 3)(x − 1)3(x2 + 2x − 1)2(x8 + x7 − 12x6 − 12x5 + 42x4 + 37x3 − 43x2 − 26x + 1)(x8 + 3x7 − 6x6 − 20x5 + 8x4 + 31x3 − 5x2 − 6x + 1)(x9 − 13x7 − 2x6 + 54x5 + 9x4 − 80x3 − 5x2 + 29x − 3)(x9 − 2x8 − 13x7 + 24x6 + 56x5 − 95x4 − 80x3 + 125x2 + x − 3).
Voir aussi
Liens internes
Liens externes
Références
- (en) Faulkner, G. B. and Younger, D. H. "Non-Hamiltonian Cubic Planar Maps." Discr. Math. 7, 67-74, 1974.
Catégorie :- Graphe remarquable
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