- n-uplet
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En mathématiques, si n est un entier naturel alors un n-uplet est une collection ordonnée de n objets, appelés composantes du n-uplet. (La traduction en anglais, « tuple » , est parfois utilisée pour « uplet » dans des ouvrages en français[1].)
Pour n > 0, si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, ..., an le ne élément, le n-uplet s'écrit : (a1,a2,...,an).
Le 0-uplet s'écrit ( ).
L'égalité des n-uplets se définit par
- (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn) si et seulement si a1=b1 et a2=b2 ... et an=bn.
Un 1-uplet est un singleton, un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...
Si E1, ..., En sont des ensembles alors l'ensemble des n-uplets (a1,a2,...,an) où a1 appartient à E1, ..., an appartient à En est le produit cartésien de ceux-ci, noté E1 × ... × En.
Exemples
- Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de réels.
- Les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de réels.
- Un quaternion peut être représenté par un quadruplet.
- En informatique théorique, un automate fini est représenté par un quintuplet.
Formalisation
Un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple (qui lui-même peut se définir en termes d'ensemble, voir l'article Couple).
- (a1,a2,...,an)=((...((a1,a2),a3),...,an-1),an).
c'est-à-dire qu'un n+1-uplet, est un couple dont la première composante est un n-uplet. ou en utilisant une définition par récurrence, la notion de couple étant connue :
est un 0-uplet- si x = (a1,a2,...,an) est un n-uplet, alors (x,an+1) est un (n+1)-uplet, et (a1,a2,...,an, an+1) = (x,an+1).
La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.
On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.
Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une fonction définie sur un ensemble fini, {0, … , n-1} ou {1, … , n}.
Note
- Par exemple dans le manuel de F. Aprahamian, A Bertrand, D. Besancenot, J.-B. Ferrari, K. Huynh, Microéconomie, Bréal, 2007 (ISBN 9782749507491) p. 226
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