-uplet

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N-uplet

En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection ordonnée de n objets. Les éléments sont aussi appelés composantes.

Si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, ..., an le nème élément, le n-uplet s'écrit : (a_1, a_2, \cdots, a_n).

L'égalité des n-uplets se définit par

(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(b_1,b_2,\cdots,b_n) \Longleftrightarrow a_1=b_1, a_2=b_2, \cdots, a_n=b_n.

Un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...

Si E_1, \cdots, E_n sont des ensembles alors l'ensemble des n-uplets (a_1, a_2, \cdots, a_n), où a_1 \in E_1, \cdots, a_n \in E_n, est le produit cartésien des ensembles E_1, \cdots, E_n.

Sommaire

Exemples

Formalisation

Formellement, un n-uplet peut être défini en termes d'ensemble par

(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \{a_1,\{a_1,\{a_2,\{a_2,\{a_3,\{a_3,\cdots,\{a_{n-1},\{a_{n-1},a_n\}\}\cdots\}\}\}\}

ou en utilisant une définition récursive :

  1. un 1-uplet (a1) est simplement a1;
  2. si x est un n-uplet, alors (x,an + 1) (i.e. {x,{x,an + 1}}) est un (n+1)-uplet.

Il est assez facile de démontrer que ces définitions sont équivalentes, cependant les ensembles obtenus sont très différents.

Programmation

Beaucoup de langages de programmation supportent les n-uplets comme type de donnée, formés aussi bien d'objets tous de même type ou d'objets de types différents.

Le langage de programmation LISP a utilisé dès ses débuts la notion abstraite de paire pour créer toutes ses structures de n-uplets et de listes, de manière similaire à la définition récursive précédente.

Voir aussi

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