Équation de conservation

Dans diverses disciplines de la physique, lorsqu'une quantité est supposée conservée (typiquement la masse, la charge ou le nombre baryonique) malgré son déplacement, on peut établir une équation reliant la variation de cette quantité dans le temps à sa variation dans l'espace, appelée équation de conservation de la grandeur.

Sommaire

1 Expression
- 1.1 Forme intégrale
  - 1.1.1 Preuve
- 1.2 Forme locale
  - 1.2.1 Preuve
2 Terme source
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes

Expression

On peut l'établir sous deux formes, intégrale et locale.

Forme intégrale

Soit une grandeur ϕ supposée conservée, se déplaçant à une vitesse $\vec{v}$ . Alors pour tout volume V, de surface fermée Σ, on a :

$\oint_{\Sigma} \phi \vec{v} \cdot \vec{dS} + \int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} d\tau = 0$

Autrement dit, le flux de ϕ à travers la surface implique une variation de ϕ dans le volume.

Preuve

Le volume V contient, à un instant t, la quantité :

$\Phi = \iiint_V \phi d\tau$

Cette quantité varie, pendant dt, à cause des apports ou des pertes extérieurs :

d Φ = d Φ e - d Φ s

Il est entré et sorti, en faisant un bilan algébrique :

$d\Phi_e - d\Phi_s = \oint_{\Sigma} \phi \vec{v}\cdot \vec{dS} dt$

Enfin, en différenciant Φ et en identifiant, on obtient bien la formule donnée.

Forme locale

Soit une grandeur ϕ supposée conservée, se déplaçant à une vitesse $\vec{v}$ . Alors pour tout élément de volume $d 3 τ$ , on a :

$\mathrm{div} ( \phi \vec{v} ) + \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$

Preuve

On utilise le théorème de Green-Ostrogradski. Donc,

$\oint_{\Sigma} \phi \vec{v} \cdot \vec{dS} = \int_V \mathrm{div}(\phi \vec{v}) d\tau$

En substituant, on obtient donc,

$\int_V \mathrm{div}(\phi \vec{v}) d\tau + \int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} d\tau = 0$

Cette formule est valable pour tout volume V aussi petit soit-il. On en déduit donc la forme locale.

Terme source

Parfois, on peut établir une « équation de conservation » même s'il existe des sources qui font varier la grandeur. L'équation de conservation ne s'annule alors plus, et sa valeur dépend de la production des sources, appelé terme source. En notant p la production algébrique dans un volume infinitésimal :

$\oint_{\Sigma} \phi \vec{v} \cdot \vec{dS} + \int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} d\tau = \int_V p d\tau$

$\mathrm{div} \phi \vec{v} + \frac{\partial \phi}{\partial t} = p$

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