Equation de conservation

Equation de conservation

Équation de conservation

Dans diverses disciplines de la physique, lorsqu'une quantité est supposée conservée (typiquement la masse, la charge ou le nombre baryonique) malgré son déplacement, on peut établir une équation reliant la variation de cette quantité dans le temps à sa variation dans l'espace, appelée équation de conservation de la grandeur.

Sommaire

Expression

On peut l'établir sous deux formes, intégrale et locale.

Forme intégrale

Soit une grandeur ϕ supposée conservée, se déplaçant selon un vecteur v. Alors pour tout volume V, de surface fermée Σ, on a :

\oint_{\Sigma} \phi \vec{v} \cdot \vec{dS} + \int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} d\tau = 0

Autrement dit, le flux de ϕ à travers la surface implique une variation de ϕ dans le volume.

Preuve

Le volume V contient, à un instant t, la quantité :

\Phi = \iiint_V \phi d\tau

Cette quantité varie, pendant dt, à cause des apports ou des pertes extérieurs :

dΦ = dΦe − dΦs

Il est entré et sorti, en faisant un bilan algébrique :

d\Phi_e - d\Phi_s = \oint_{\Sigma} \phi \vec{v}\cdot \vec{dS} dt

Enfin, en différenciant Φ et en identifiant, on obtient bien la formule donnée.

Forme locale

Soit une grandeur ϕ supposée conservée, se déplaçant selon un vecteur v. Alors pour tout élément de volume d3τ, on a :

\mathrm{div} \phi \vec{v} + \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0

Preuve

À partir de la forme intégrale, en utilisant le théorème de Green-Ostrogradski, pour un volume infinitésimal d3τ, on retrouve bien la formule donnée.

Terme source

Parfois, on peut établir une « équation de conservation » même s'il existe des sources qui font varier la grandeur. L'équation de conservation ne s'annule alors plus, et sa valeur dépend de la production des sources, appelé terme source. En notant p la production algébrique dans un volume infinitésimal :

\oint_{\Sigma} \phi \vec{v} \cdot \vec{dS} + \int_V \frac{\partial \phi}{\partial t} d\tau = \int_V p d\tau
\mathrm{div} \phi \vec{v} + \frac{\partial \phi}{\partial t} = p

Voir aussi

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