Variété (algèbre)
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variété.
En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).
Par exemple les équations suivantes
- (x * y) * z = x * (y * z)
- x * e = x
- e * x = x
(pour tous x, y, z) définissent, parmi les magmas pointés 
, la variété des monoïdes.
D'après la définition, toute variété K vérifie :
- (H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ;
- (S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ;
- (P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.
Le théorème HSP de Garrett Birkhoff (1935) énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Variété (algèbre) de Wikipédia en français (auteurs)
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