Trinôme du second degré

Trinôme du second degré

Fonction du second degré

Icone math élém.jpg
Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Logique
Arithmétique
Probabilités
Statistiques

En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur \R par :  f(x) = ax^2 + bx + c\,a, b et c sont des réels (a non nul) appelés les coefficients.

ax2 est le terme du second degré, bx est le terme du premier degré et c est le terme constant.

Après les fonctions affines, les fonctions du second degré ou trinômes du second degré constituent le deuxième champ d'étude des fonctions polynômes.

Ces fonctions du second degré trouvent leurs applications dans des domaines extrêmement variés comme l'étude théorique d'une chute libre en physique.

Sommaire

Forme canonique

Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui permet de mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}

On peut remarquer que f\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-b^2+4ac}{4a}

Exemple : si  f(x) = 2x ^2 + 4x - 5\,, on remarque que \frac{-b}{2a} = -1 et que f(-1) = -7\, donc f(x) = 2(x + 1)^2 - 7\,

Discriminant: On appelle discriminant le nombre Δ = b2 − 4ac. On obtient alors :

 f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]

De cette forme canonique se déduisent tous les résultats concernant la fonction du second degré.

Racines

Article détaillé : Équation du second degré.

On dit que r est une racine de f si f(r) = 0.

On démontre que

  • si Δ > 0 alors f possède deux racines qui sont r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} et r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
  • si Δ = 0 alors f possède une racine double qui est r_0 = \frac{-b}{2a}
  • si Δ < 0 alors f ne possède pas de racine dans l'ensemble \R mais il en possède dans l'ensemble \mathbb{C}.

Cas de la racine évidente

Soit un trinôme du second degré, tel que f(x) = ax^2 + bx + c\,.
Si a+b+c=0\, alors f\, admet deux racines évidentes 1\, et c/a\,. De même,
Si a-b+c=0\, alors f\, admet deux racines évidentes -1\, et -c/a\,.

Opérations sur les racines

Si le polynôme du second degré possède deux racines r1 et r2 (éventuellement confondues), il est possible de connaître la sommer1 + r2 et le produit r1r2 de ces racines sans avoir besoin de les calculer au préalable.

r_1+r_2=- \frac{b}{a}

et

r_1r_2=\frac{c}{a}

Factorisation

Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.

  • si \Delta > 0\, alors f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,
  • si \Delta = 0\, alors f(x) = a(x - r_0)^2\,

Étude de signe

Article détaillé : Inéquation du second degré.

La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) permet de construire le tableau de signe de f(x)\,. En réalité, il existe 6 cas de figure selon que a\, est positif ou négatif et selon que f\, possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : «Le signe de trinôme coïncide avec celui de a\,. sauf entre les racines»

Représentation graphique

La forme canonique de la fonction f\, permet de remarquer que sa courbe représentative est l'image de la courbe d'équation y = ax^2\, par une translation de vecteur \vec u\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right).

La courbe représentative est donc toujours une parabole. Son sommet est le point S\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right) et son axe de symétrie est la droite d'équation  x = \frac{-b}{2a}\,.

Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de a\, et celui de Δ. On rappelle que f\left(\frac{-b}{2a}\right) = - \frac{\Delta}{4a}\,

a > 0 a < 0
Δ < 0 Parabole a pos delta nég.png

\begin{array}{|c|ccc|}
\hline x & -\infty & & +\infty \\
\hline f(x) & & + & \\
\hline
\end{array}
Parabole a nég delta nég.png

\begin{array}{|c|ccc|}
\hline x & -\infty & & +\infty \\
\hline f(x) & & - & \\
\hline
\end{array}
Δ = 0 Parabole a pos delta zéro.png

\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\
\hline f(x) & & + & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
Parabole a nég delta zéro.png

\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\
\hline f(x) & & - & 0 & - & \\
\hline
\end{array}
Δ > 0 Parabole a pos delta pos.png

\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\
\hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
Parabole a nég delta pos.png

\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\
\hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}

Sens de variation

Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de f\,:

  • Si a > 0\,, la fonction est décroissante puis croissante et atteint son minimum en - b/2a\, ;
  • Si a < 0\,, la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum en - b/2a\,

Ce résultat est confirmé par le calcul de la dérivée de f\, qui est f'(x) = 2ax + b\,.

Liens

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Fonction du second degr%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Trinôme du second degré de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Equation du second degre — Équation du second degré En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante : les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La… …   Wikipédia en Français

  • Equation du second degré — Équation du second degré En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante : les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La… …   Wikipédia en Français

  • Équation du second degré — En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de degré 2, c est à dire qu elle peut s écrire sous la forme : où x est l inconnue et les lettres a, b et c représentent les coefficients,… …   Wikipédia en Français

  • Fonction du second degré — Graphe de f(x) = x 2 x 2. En mathématiques, une fonction du second degré est une fonction numérique définie par : f(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels qui ne dépendent pas de la variable …   Wikipédia en Français

  • Fonction Du Second Degré — Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Fonction du second degre — Fonction du second degré Cet article fait partie de la série Mathématiques élémentaires Algèbre Logique Arithmétique Probabilités …   Wikipédia en Français

  • Résolution des équations de second degré — Équation du second degré En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante : les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La… …   Wikipédia en Français

  • Résolution des équations du second degré — Équation du second degré En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante : les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La… …   Wikipédia en Français

  • Résolutions des équations de second degré — Équation du second degré En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante : les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La… …   Wikipédia en Français

  • Équation du second degré (mathématiques élémentaires) — Équation du second degré En mathématiques, une équation du second degré, encore appelée équation quadratique se présente sous la forme suivante : les lettres a, b et c désignent des nombres, et a est, par définition, différent de 0. La… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”