Mesure produit

Mesure produit

En mathématiques et plus précisément en théorie de la mesure, étant donnés deux espaces mesurés \scriptstyle(\Omega_1,\mathcal S_1,\mu_1) et \scriptstyle(\Omega_2,\mathcal S_2,\mu_2), on définit une mesure produit μ1×μ2 sur l'espace mesurable \scriptstyle(\Omega_1\times\Omega_2,\mathcal S_1\times\mathcal S_2).

La tribu produit \scriptstyle\mathcal S_1\times\mathcal S_2 est la tribu sur le produit cartésien \scriptstyle\Omega_1\times\Omega_2 engendrée par les parties de la forme \scriptstyle A_1\times A_2, où A1 appartient à \scriptstyle\mathcal S_1 et A2 à \scriptstyle\mathcal S_2 :

\mathcal{S}_1\times\mathcal{S}_2\ =\ \sigma\left(\left\{A_1\times A_2\ |\ A_1\in \mathcal{S}_1,\ A_2\in \mathcal{S}_2\right\}\right).

Une mesure produit μ1×μ2 est une mesure sur \scriptstyle(\Omega_1\times\Omega_2,\mathcal S_1\times\mathcal S_2) telle que :

\forall A_1\in\mathcal S_1,~\forall A_2\in\mathcal S_2\qquad(\mu_1\times\mu_2)(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\mu_2(A_2).

D'après le théorème d'extension de Carathéodory, une telle mesure μ1×μ2 existe, et si μ1 et μ2 sont σ-finies alors elle est unique.

En fait, lorsque μ1 et μ2 sont σ-finies, pour chaque ensemble mesurable E,

(\mu_1\times\mu_2)(E)=\int_{\Omega_2}\mu_1(E^y)~\mathrm d\mu_2(y)=\int_{\Omega_1}\mu_2(E_x)~\mathrm d\mu_1(x),

avec Ex = {y∈Ω2|(x,y)∊E} et Ey = {x∈Ω1|(x,y)∊E}, qui sont tout deux des ensembles mesurables.

La mesure de Borel-Lebesgue sur l'espace euclidien ℝn peut être obtenue comme le produit de n copies de celle sur la droite réelle ℝ.

Même lorsque μ1 et μ2 sont complètes, μ1×μ2 ne l'est pas nécessairement. Par exemple, pour obtenir la mesure de Lebesgue sur ℝ2, il faut compléter le produit des deux copies de la mesure de Lebesgue sur ℝ.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product measure » (voir la liste des auteurs)
  • (en) Michael E. Taylor, Measure theory and integration, American Mathematical Society
  • (en) Michel Loève, Probability Theory vol. I, Springer, 1977, 4e éd. (ISBN 0387902104), chap. 8.2 (« Product measures and iterated integrals »), p. 135-137 
  • (en) Paul Halmos, Measure theory, Springer, 1974 (ISBN 0387900888), chap. 35 (« Product measures »), p. 143-145 

Articles connexes


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