Transformation de mellin

Transformation de Mellin

En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des séries de Dirichlet, et est souvent utilisée en théorie des nombres et dans la théorie des prolongements asymptotiques ; elle est également fortement reliée à la transformation de Laplace, à la transformation de Fourier, à la théorie de la fonction gamma et aux fonctions spéciales.

La transformation de Mellin d'une fonction f est

$\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^s f(x)\frac{dx}{x}.$

La transformation inverse est

$\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s) ds.$

La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe. Les conditions sous lesquelles cette inversion est valide sont données dans le théorème d'inversion de Mellin.

La transformation a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin (1854 - 1933).

Sommaire

1 Relations avec les autres transformations
2 Intégrale de Cahen-Mellin
3 Exemples
4 Application aux calculs de sommes de réseau
5 Notes
6 Références

Relations avec les autres transformations

La transformation de Laplace bilatérale peut être définie en termes de transformation de Mellin par

$\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)$

et inversement, nous pouvons obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par

$\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)$

La transformation de Mellin peut être vue comme une intégration utilisant un noyau x^s qui respecte la mesure de Haar multiplicative, $\frac{dx}{x}$ , qui est invariante sous la dilatation $x \mapsto ax$ , c'est-à-dire $\frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x}$ ; la transformation de Laplace bilatérale intègre en respectant la mesure de Haar additive $dx\,$ , qui est un invariant de translation, c'est-à-dire $d(x+a) = dx\,$ .

Nous pouvons aussi définir la transformation de Fourier en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors

$\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is)$

Nous pouvons aussi inverser le processus et obtenir

$\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)$

La transformation de Mellin est aussi reliée aux séries de Newton ou aux transformations binomiales avec la fonction génératrice de Poisson, au sens du cycle Poisson-Mellin-Newton.

Intégrale de Cahen-Mellin

Pour $c > 0$ , $\Re(y)>0$ et $y - s$ sur la branche principale, on a

$e^{-y}= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds$

où $Γ(s)$ est la fonction gamma d'Euler. Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin^[1].

Exemples

La formule de Perron décrit la transformation de Mellin inverse appliquée aux séries de Dirichlet.
La transformation de Mellin est utilisée dans certaines preuves de la fonction de compte des nombres premiers et apparaît dans les discussions de la fonction zêta de Riemann.
La transformation de Mellin inverse apparaît communément dans le rapport de Riesz.

Application aux calculs de sommes de réseau

Dans la littérature, on utilise souvent les transformées de Mellin pour le calcul analytique de toute une variété de sommes de réseaux, qui s'expriment sous forme de diverses fonctions spéciales comme les fonctions thêta de Jacobi ou la fonction zêta de Riemann.^[2]

Notes

↑ G.H. Hardy and J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41(1916) pp.119-196. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)
↑ M. L. Glasser, J. of Math. and Phys. 14, 3, 1973, The Evaluation Of Lattice Sums, I. Analytic Procedures.

Références

Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

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