Transformation affine

Transformation affine

Application affine

C’est Euler, en 1748, qui est à l’origine du terme « transformation affine », car dit-il, « deux courbes images l’une de l’autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité ».

De nos jours, une application affine est une application entre deux espaces affines qui préserve la structure affine, c'est-à-dire qui envoie les droites, plans, espaces,... en des droites, plans, espaces, ... tout en préservant la notion de parallélisme.

France1.gif ➪ France affine.gif

Sommaire

Définition et premières propriétés

Une application f:M \mapsto M' d'un espace affine E\, vers un espace affine E'\, est dite affine s'il existe une application linéaire \vec f de l'espace vectoriel \vec E associé à E\, vers l'espace vectoriel \vec E' associé à E'\,, appelée la partie linéaire de f\,, satisfaisant :

\vec f(\overrightarrow{MN})=\overrightarrow{M'N'},

pour tous points M\, et N\, de E\,.

Une application affine est donc déterminée par la donnée d'un couple de points homologues O\, et O'\, et de sa partie linéaire :

f(M) = O' + \vec f(\overrightarrow{OM}),

Si E est de dimension n, elle est également déterminée par la donnée de n + 1 points formant un repère affine et de leurs images.

Définitions équivalentes :

  • Application linéaire d'un vectorialisé E_O\, de E\,, vers un vectorialisé E'_{O'}\, de E'\,.
  • Application conservant les barycentres.

Deux sous-affines parallèles dans E\, ont pour image des sous-espaces affines parallèles dans E'\, (les applications affines préservent le parallélisme).

Une application affine d'un espace affine dans lui même est appelée endomorphisme affine, et un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme, ou plus couramment une transformation affine. Les transformations affines forment un groupe, appelé le groupe affine de E\,, noté GA(E)\,

Exemples d'endomorphismes affines

  • les translations (caractérisation : partie linéaire = l'identité).
  • plus généralement, les homothéties (affines) (caractérisation : partie linéaire = une homothétie (vectorielle), uniquement dans le cas d'un rapport différent de 1)
  • les symétries (affines) (caractérisation : au moins un point fixe et partie linéaire = une involution, ou application affine de carré égal à l'identité)
  • les projections (affines) (caractérisation : au moins un point fixe et partie linéaire = un projecteur, ou application affine de carré égal à elle-même)
  • les affinités, comprenant toutes les précédentes

Points fixes des endomorphismes affines

Les points fixes jouent un rôle important pour les endomorphismes affines car un endomorphisme affine ayant un point fixe O\, est "moralement" une application linéaire (du vectorialisé E_O\,).

S'il est non vide, l'ensemble des points fixes de l'endomorphisme affine f\, est un sous-espace affine de direction Ker(\vec f-id_{\vec E}) : de plus si Im (\vec f-id_{\vec E})=\vec E, alors il existe au moins un point invariant pour f\,. On en déduit qu'en dimension finie si la partie linéaire de f\, a un unique vecteur invariant, alors f\, a un unique point invariant.

D'autre part, pour un endomorphisme affine f\, sans point fixe, on trouve facilement une translation qui, composée avec f\,, donne une application ayant un point fixe, mais cette translation ne commute pas avec f\, en général. Cependant, si \vec E=Ker(\vec f-id_{\vec E})\oplus Im(\vec f-id_{\vec E}), il existe un unique vecteur u\, et une unique application affine g\, ayant un point fixe telle que f=t_u \circ g=g\circ t_u ; c'est le cas par exemple des symétries glissées.

Transformation affine comme cas particulier d'homographie

L'espace affine E\, peut être complété par un hyperplan à l'infini H\, en un espace projectif \hat E ; une transformation affine f\, de E\, se prolonge alors de façon unique en une transformation projective, ou homographie de \hat E, laissant H\, invariant.

Réciproquement, toute homographie laissant un hyperplan invariant se restreint dans le complémentaire de cet hyperplan à une transformation affine.

En raccourci, les transformations affines sont les homographies ayant un hyperplan invariant, et on en déduit que le groupe affine est un sous-groupe du groupe projectif.

Les applications affines dans \mathbb K^n

Les applications affines dans \mathbb K sont exactement les applications f:\mathbb K\to \mathbb K de la forme

f(x)=ax+b, \quad \forall x\in\mathbb K

avec a\, et b\, deux réels quelconques. L'application linéaire qui lui est associée est \vec f:\mathbb K \to \mathbb K avec

\vec f(x)=ax,\quad \forall x\in\mathbb K.

De façon plus générale, une application affine f:\mathbb K^n\to\mathbb K^m est une application de la forme

f(X)=A\cdot X+B

où A\, est une matrice m\times n et B\, une matrice m\times 1. L'application linéaire associée est \vec f:\mathbb K^n\to\mathbb K^m définie par

\vec f(X)=A\cdot X,\quad \forall X\in\mathbb K^{n\times 1}

Translations et affinités dans \mathbb R^n

  • L'application T est une translation de vecteur \vec v si et seulement si

A=I_n,\quad B=\vec v.

  • L'application T est une affinité de coefficient k si et seulement si la matrice A n'admet pour valeurs propres que 1 et k, et si les espaces propres associés sont supplémentaires (la somme de leurs dimensions est égale à n, l'une d'elle pouvant être nulle).
    • En particulier, si k = 0, l'affinité est une projection (la matrice A représente une projection vectorielle dans \mathbb R^n).
    • Si k = − 1, alors l'affinité est une symétrie (la matrice A représente une symétrie vectorielle).
    • Si A n'admet qu'une seule valeur propre k\neq 1 de multiplicité n, alors T est une homothétie de rapport k et de centre P qui est l'unique point solution du système linéaire

(I_n-A)\cdot X=B.

Caractérisations géométriques des applications affines

On suppose dans ce paragraphe que \mathbb K=\mathbb{R} et que les espaces sont de dimension finie.

1) Les applications affines sont les applications conservant les barycentres.

Ceci vaut aussi bien pour les barycentres de familles finies que des centres d'inertie de parties munies de fonctions de masse ; le centre d'inertie d'un objet aura pour image par une application affine le centre d'inertie de l'objet image.

Grâce à l'associativité, on peut réduire la condition au fait de conserver les barycentres de deux points, mais on ne peut aller jusqu'à la conservation des milieux : les applications conservant les milieux sont les applications \mathbb{Q}-affines, et on peut construire par l'axiome du choix des applications \mathbb{Q}-affines non \mathbb{R}-affines.

Cependant, on peut montrer que

2) Les applications affines sont les applications continues conservant les milieux.

Remarque : la propriété de conservation des milieux équivaut à celle de conservation des parallélogrammes.


3) En dimension \ge 2, les transformations affines sont les bijections transformant une droite en une droite.

Ceci est une version du théorème fondamental de la géométrie affine. Il est remarquable qu'il n'y ait pas besoin de préciser que deux droites parallèles ont des images parallèles.

On peut même restreindre la caractérisation à :

4) En dimension \ge 2, les transformations affines sont les bijections transformant 3 points alignés en 3 points alignés.

Voir la page théorème fondamental de la géométrie affine pour plus de précisions.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Application affine ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Transformation affine de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Transformation affine — ● Transformation affine application affine bijective d un espace affine dans lui même …   Encyclopédie Universelle

  • Transformation affine directe — ● Transformation affine directe transformation d un espace affine qui conserve l orientation d une partie quelconque de cet espace …   Encyclopédie Universelle

  • affine — [ afin ] adj. • XXe; fém. de affin 1 ♦ Biol. Formes affines, présentant des ressemblances ne traduisant pas toujours des liens de parenté. Les sélaginelles sont affines aux lycopodes. 2 ♦ Math. Transformation affine : transformation dans le plan… …   Encyclopédie Universelle

  • Transformation geometrique — Transformation géométrique Pour les articles homonymes, voir Transformation. On appelle transformation géométrique, toute bijection d une partie d un ensemble géométrique dans lui même. On peut tenter une ou des classifications de ces… …   Wikipédia en Français

  • Affine space — In mathematics, an affine space is an abstract structure that generalises the affine geometric properties of Euclidean space. In an affine space, one can subtract points to get vectors, or add a vector to a point to get another point, but one… …   Wikipedia

  • Affine — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Affine », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Mathématiques En mathématiques, l adjectif… …   Wikipédia en Français

  • Transformation géométrique — Pour les articles homonymes, voir Transformation. On appelle transformation géométrique, toute bijection d une partie d un ensemble géométrique dans lui même. On peut tenter une ou des classifications de ces transformations. D abord selon la… …   Wikipédia en Français

  • Affine shape adaptation — is a methodology for iteratively adapting the shape of the smoothing kernels in an affine group of smoothing kernels to the local image structure in neighbourhood region of a specific image point. Equivalently, affine shape adaptation can be… …   Wikipedia

  • Affine — may refer to:*Affine cipher, a special case of the more general substitution cipher *Affine combination, a certain kind of constrained linear combination *Affine connection, a connection on the tangent bundle of a differentiable manifold *Affine… …   Wikipedia

  • Transformation de lorentz — Cet article présente les transformations de Lorentz sous un aspect technique. Le lecteur désireux d obtenir des informations physiques plus générales à ce sujet pourra se référer à l article relativité restreinte. Les transformations de Lorentz… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”