Topos (mathématiques)

En mathématiques, un topos (au pluriel, topoi) est une catégorie qui se comporte comme un préfaisceau d'ensembles sur un espace topologique.

Les topoi de Grothendieck en géométrie

Depuis l'apparition en mathématiques des préfaisceaux dans les années 1940, l'étude d'un espace est souvent passée par celle de préfaisceaux sur cet espace. L'idée fut formulée par Alexander Grothendieck lorsqu'il introduisit la notion de topos. Le principal atout de cette notion réside dans l'abondance de situations en mathématiques où l'on a une indéniable intuition topologique, mais où fait défaut tout espace topologique digne de ce nom. Le plus grand succès de cette idée programmatique est à ce jour l'introduction du schéma.

Formulations équivalentes

Soit C une catégorie. Un théorème de Jean Giraud établit que les formulations suivantes sont équivalentes :

• il existe une petite catégorie D et une inclusion C Presh(D) qui admette un adjoint à gauche préservant la limite finie ;
• C est la catégorie des préfaisceaux sur un site de Grothendieck ;
• C satisfait les axiomes de Giraud énumérés ci-dessous.

Une catégorie possédant ces propriétés est appelée « topos de Grothendieck ». Presh(D) dénote ici la catégorie des foncteurs contravariants de D vers la catégorie des ensembles ; un tel foncteur contravariant est souvent appelé préfaisceau.

Axiomes de Giraud

Les axiomes de Giraud pour une catégorie C sont les suivants :

• C a un petit ensemble de générateurs, et admet toutes les petites colimites. En outre, les colimites sont commutatives avec le produit fibré.
• Les sommes dans C sont disjointes. En d'autres termes, le produit fibré de X et de Y sur leur somme est l'objet initial dans C.
• Toutes les relations d'équivalence dans C sont effectives.

Le dernier axiome demande quelques explications. Si X est un objet de C, une relation d'équivalence R sur X est une application R→X×X dans C telle que tous les applications Hom(Y,R)→Hom(Y,X)×Hom(Y,X) soient des relations d'équivalence entre ensembles. Puisque C a des colimites, on peut former le coégalisateur des deux applications R→X ; appelons-le X/R. La relation d'équivalence est effective sur l'application canonique

est un isomorphisme.

Exemples

Le théorème de Giraud donne déjà les préfaisceaux sur les sites comme liste complète d'exemples. On remarquera cependant que des sites non équivalents donnent souvent naissance à des topoi équivalents. Comme indiqué en introduction, les préfaisceaux sur des espaces topologiques ordinaires ont été à l'origine des définitions de base et des résultats de la théorie des topoi.

La catégorie des ensembles est un cas spécial important : elle joue le rôle d'un point dans la théorie des topoi. De fait, un ensemble peut être considéré comme un préfaisceau sur un point.

Plus d'exemples exotiques, et la raison d'être même de la théorie des topoi, viennent de la géométrie algébrique. À un schéma et même à un champ, on peut associer un topos étale, un topos fppf (?), un topos de Nisnevich, etc.

Contre-exemples

La théorie des topoi est en quelque sorte une généralisation de la topologie classique des ensembles de points. On serait donc en droit d'attendre d'anciens et de nouveaux exemples de comportements pathologiques. À titre d'exemple, Pierre Deligne a exhibé un topos non trivial qui n'a pas de point.

Morphismes géométriques

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Topoi élémentaires (topoi en logique)

Introduction

On utilise traditionnellement comme fondation axiomatique des mathématiques la théorie des ensembles, où tous les objets mathématiques sont représentés en dernière instance par des ensembles, y compris les applications entre ensembles. En théorie des catégories, on peut généraliser ce fondement au moyen des topoi.

Chaque topos définit intégralement son propre cadre de travail mathématique. La catégorie des ensembles constitue un topos familier, et travailler avec ce topos équivaut à utiliser la théorie des ensembles traditionnelle. Mais on pourrait choisir de travailler avec bien d'autres topoi. Une formulation standard de l'axiome du choix vaut dans certains topoi, mais est invalide dans d'autres. Des mathématiciens constructivistes choisiront de travailler dans un topos dénué de loi du tiers exclu. Si la symétrie dans un groupe G revêt quelque importance, on peut utiliser le topos consistant en tous les G-sets (voir l'article Action de groupe (mathématiques)).

Il est également possible de coder comme un topos une théorie algébrique telle que la théorie des groupes. Les modèles individuels de la théorie, ici les groupes, correspondent alors aux foncteurs du topos dans la catégorie des ensembles qui préservent la structure de topos.

Définition formelle

Utilisé dans le cadre des fondements, on définira un topos de manière axiomatique ; la théorie des ensembles est alors considérée comme un cas particulier de théorie des topoi. Il existe plusieurs définitions équivalentes d'un topos fondées sur la théorie des catégories. À défaut d'être éclairante, la suivante a le mérite de la concision :

Un topos est une catégorie possédant les deux propriétés suivantes :

• toute limite fondée sur des catégories à index fini existe ;
• tout objet a un objet puissance.

On peut en déduire que :

• toute colimite fondée sur des catégories à index fini existe ;
• la catégorie a un classificateur de sous-objet (?) ;
• deux objets quelconques donnent lieu à un objet exponentiel ;
• la catégorie est une catégorie cartésienne fermée.

Dans de nombreuses applications, le rôle du classificateur de sous-objet joue un rôle pivot, contrairement aux objets puissance. Aussi certaines définitions inversent-elles les rôles de ce qui est défini et de ce qui en est déduit.

Explications

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