Axiomes de plans projectifs/suite des axiomes

La géométrie projective a permis de s'abstraire des impressions intuitives de la géométrie plane euclidienne. La géométrie projective ne travaille que sur les alignements et les intersections, elle ignore angles et longueurs. On part donc d'une base vraiment minimale à laquelle on ajoute des axiomes au compte-gouttes. Ainsi « tout univers possible dans l'imagination humaine » correspond à un ensemble d'axiomes qui définissent une structure d'Espace.

Les choses un peu compliquées commencent avec le théorème fondamental, les axiomes de Désargues et de Pappus, le théorème de Pascal ; tous ces concepts permettent de travailler sur des objets composites tels que les tripoints, tridroites, quadripoints, hexagrammes magiques pour aboutir à une théorie projective unifiée des coniques, théorie qui n'a pas besoin d'employer les notions de distance (point-point ou point-droite).

Cascade d'axiomes de plans projectifs

Plan projectif-tout-court

Un plan projectif (PP) est un ensemble de points et de droites (c'est-à-dire de groupements de points qu'on appellera droites). Un point est incident à cette droite s’il appartient à ce groupement. Une droite est incidente à un point si ce point fait partie de ce groupement. On dit aussi que cette droite passe par ce point ou que ce point est sur cette droite. Ce ne sont là que des questions de vocabulaire. Attention, une droite ne ressemble pas forcément aux droites du plan euclidien « naturel », ce n'est qu'un mot pour désigner des sous-ensembles de points.

Pour mémoire : plan projectif d'incidence (la base minimaliste)

Pour mémoire : plan projectif homogène (et barycentrique)

En dehors des PPH et de la démonstration du théorème fondamental -voir infra- on peut s'efforcer de raisonner sans aucune utilisation de coordonnées quelles qu'elles soient.

Plan projectif fondamental

Un plan projectif fondamental (PPF) est un PPI qui vérifie l’axiome fondamental de la géométrie projective, donc au total les axiomes :

1. Il existe au moins 2 points.
2. Chaque droite possède au moins 3 points.
3. Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
4. Deux droites distinctes ont un et un seul point commun.
5. Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.
6. Axiome fondamental : une transformation projective unidimensionnelle d'une droite sur elle-même qui comporte trois points fixes est l'identité projective unidimensionnelle.

Plan projectif de Pappus

Un plan projectif de Pappus (PPP) est un PPI qui vérifie l’axiome de Pappus, donc au total :

1. Il existe au moins 2 points.
2. Chaque droite possède au moins 3 points.
3. Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
4. Deux droites distinctes ont un et un seul point commun.
5. Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.
6. Axiome de Pappus-projectif : Si les points A1,B1,C1 sont alignés et si les points A2,B2,C2 sont alignés alors les intersections A B C sont aussi alignées. - -

On remarque que cette figure est autoduale.

Coloriage

La configuration de Pappus possède une intéressante propriété de coloriage des 9 points et des 9 droites. On peut colorier les points avec 3 couleurs, deux points d'une même couleur n'étant jamais sur une droite de la configuration, sur chaque droite on trouve les trois couleurs de points. Dualement, on peut colorier les droites avec 3 couleurs, deux droites d'une même couleur ne se croisant jamais sur un point de la configuration, en chaque point on trouve les trois couleurs de droites. Les points bleus sont C1 C C2, les points rouges sont B1 B B2, les points jaunes sont A1 A A2. Les droites sont coloriées en violet, vert, orange. Dans ce cas particulier, les droites-supports sont orange, l'hexagramme-hexagone est vert-violet-vert-violet-vert-violet ; si on se place du point de vue des sommets, l'« hexangle » est bleu-rouge-jaune-bleu-rouge-jaune.

Plan projectif de Désargues-ou arguésien

Définition d'un plan projectif de Désargues-ou arguésien

Un plan projectif arguésien (PPA) est un PPI qui vérifie l’axiome de Désargues, donc au total :

1. Il existe au moins 2 points.
2. Chaque droite possède au moins 3 points.
3. Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
4. Deux droites distinctes ont un et un seul point commun.
5. Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.
6. Axiome de Désargues : Étant donnés deux triangles ABC et A'B'C', si AA', BB' et CC' sont concourantes alors les 3 points d'intersection a, b et c des côtés homologues sont alignés.

Harmonie dans un plan projectif arguésien

Concernant les quadruplets harmoniques, l'axiome de Désargues permet de prouver au moins deux théorèmes.

Si un quadruplet est harmonique, alors il existe au moins un autre quadrangle complet qui correspond à ce quadruplet. (figure de gauche)- Soit le quadrangle Q1 Q2 Q3 Q4 qui serte à définir le quadruplet harmonique {Q1Q3, Q2Q4, D2, D3}. Nous pouvons construire un autre quadrangle complet ayant la même propriété en traçant la droite arbitraire Q5Q6 qui passe par D2 puis l'intersection D3' des droites Q3Q6 et Q4Q5, puis les intersections Q7 et Q8. La démonstration emploie 2 fois de suite l'axiome de Désargues. Dans les triangles D3Q1Q2 et D3'Q5Q6 les intersections D2, Q3, Q4 sont alignées, donc d'après le dual de Désargues les rayons D3D3', Q1Q5 et Q2Q6 sont concourants, donc D1 D3 D3' sont alignés. Ensuite, les triangles Q3Q4D3' et Q7Q8D3 sont en situation perspective arguésienne, par conséquent les côtés homologues ont leurs intersections alignées : Q5Q6 et Q7Q8 se coupent en D2. Par conséquent le quadrangle Q5Q6Q7Q8 a 2 points diagonaux D2 et D3 qui sont harmoniques avec 2 côtés Q1Q3 et Q2Q4, ce qui est bien le quadruplet du début.

Le deuxième théorème, figure de droite, s'énonce ainsi : Soit un quadruplet harmonique {Q1Q3, Q2Q4, D2, D3} et D5 un point quelconque sauf D1 de la droite D3D1. Alors le quadruplet {Q1Q3, Q2Q4, D2, D3} est lui aussi harmonique. La démonstration se fait en appliquant l'axiome de Désargues aux triangles Q3Q4D3 et Q9Q10D5. Ce théorème est très utile, il exprime que dans un quadruplet harmonique on peut faire coulisser chacun des points sur la droite qui le joint au sommet de la bidroite.

Lien entre les figures de Ceva et de Menelaus dans un plan projectif arguésien

Soit un triangle ABC, un point P non situé sur un côté du triangle ; les droites AP, BP, CP s'appellent céviennes du point P, les intersections A' B' C' s'appellent les pieds des céviennes de P, du nom de Giovanni Ceva (1647-1734) ; le quadrangle complet C' B' B C permet de mettre en évidence le conjugué harmonique A", idem pour B" et C". Or les triangles ABC et A'B'C' sont en perspective arguésienne, donc les points A"B"C" sont alignés sur une droite que l'on appelle ménélienne, du nom de Ménélaüs d'Alexandrie (Ier siècle). D'où le théorème à la formulation moins élégante que la figure : Dans un triangle, les points conjugués harmoniques des pieds des céviennes, points situés sur les côtés du triangle, sont alignés sur une ménélienne.

Les axiomes invisibles

Les axiomes supposés connus sont ceux de la théorie des ensembles, ceux des nombres entiers, ne serait-ce que pour dire que toute droite comporte au moins 3 points distincts. Il y a aussi les axiomes et les règles de la logique mathématique qui sont utilisés dans toute démonstration. Un dernier axiome implicite que l'on pourrait qualifier « axiome d'abondance », est que le plan projectif comporte toujours suffisamment de points distincts pour que la figure ne soit pas dégénérée (pour une étude très rigoureuse, lire les fondements de la géométrie, 1985, Jacqueline Lelong-Ferrand). Par exemple pour l'axiome de Pappus le plan comporte au moins 9 points et 9 droites. Si on voulait être plus stricts, et ce serait fastidieux, on devrait, lors de la définition du point d'intersection entre deux droites, distinguer le cas où ce point est vraiment nouveau et le cas où ce point est déjà connu parmi les points précédents de la figure. Cette question est illustrée avec le Plan Projectif d'Incidence de Fano : il comporte 7 droites et 7 points, chacun ne contenant que 3 éléments ; comment y exhiber une configuration de Pappus ?

Transformations et configurations utiles

Configurations unidimensionnelles

Les 2 configurations unidimensionnelles élémentaires du plan projectif d'incidence (PPI) sont : la droite, ensemble de points alignés ainsi que le « faisceau », ensemble de droites concourantes en un point.

On pourra ensuite étudier le « faisceau de coniques », ensemble de coniques qui ont 4 points communs, etc.

Transformations de configurations unidimensionnelles

Dans le droit héritage de la perspective de la Renaissance il est intéressant d'étudier certaines transformations telles que les transformations d'un alignement de points en un autre alignement de points, que l'on appelle les transformations unidimensionnelles. Par exemple la projection élémentaire d'une droite sur une autre, la transformation en deux étapes, la transformation en deux étapes lorsque les 3 droites sont concourantes, la transformation en N étapes. Quels sont les invariants d'une telle transformation, quels axiomes sont indispensables ?

Transformation projective unidimensionnelle identité sur une droite

Lorsque l'on effectue une transformation unidimensionnelle en N étapes et que l'on revient sur la droite de départ, quelles sont les conditions pour que cette transformation laisse tous les points fixes ?

Transformations projectives bidimensionnelles

Sur un plan en dimension 2, on envisage aussi les transformations bidimensionnelles, celles qui transforment un point du plan en un autre point du plan. Parmi elles, celles qui conservent l'alignement des points ; conservent-elles aussi la convergence des droites ? Parmi elles, celles qui laissent fixes seulement les points d'une droite particulière, appelées dilatations. Comment ces différentes transformations se combinent-elles, leur loi de composition interne fait-elle apparaître des structures de monoïde, de groupe, le produit de 2 transformations est-il toujours commutatif ?

Quelques configurations utiles.

• Un bipoint projectif n'a rien à voir avec les vecteurs classiques, c'est simplement un ensemble non-ordonné de 2 points. Idem pour la bidroite.
• Un triangle est un ensemble non-ordonné de 3 points ; Un trigone ou tri-côté ou tri-latère est un ensemble non-ordonné de 3 droites. Triangle et trigone sont souvent confondus car ils sont duaux l'un de l'autre, cette tolérance de langage ne prête pas à conséquence.
• En revanche, un quadrangle complet est un ensemble non-ordonné de 4 points, il donne naissance à 6 côtés et 3 points diagonaux ; un quadrilatère complet est un ensemble non-ordonné de 4 droites, il donne naissance à 6 sommets et 3 droites diagonales.
• La même nuance est valable pour distinguer un hexagone d'un hexangle lorsqu'il y a un risque de confusion.

Cascade de théorèmes entre ces axiomes

Les diverses sortes de plans découlent les uns des autres comme des bassins de plus en plus larges reliés par des cascades.

  ___   ____   ____   ____   ____   ____   ____
 / __) (____) (____) (____) (____) (____) (__  \
| |  __________                              | |
| |  \ PP bary-\                             | |
| |   \centrique\                            | |
| |    \==========\                          | |
| |  ______________!__                       | |
|_   \                \                      |_|
|_|   \PP homogène    =====\\                |_|
 _     \________________\    \\              | |
| |                     ______||_______      | |
| |                     \     ||        \    | |
|_|                     // ((____)) )    \   |_|
|_|                    |||\PP fondamental \  |_|
 _                     ||  \_______________\ | |
| |                    ||                    | |
| |                ____||__ ____________     | |
| |                \   ||   )           \    | |
|_|                // (____)) )         _\   |_|
|_|               |||\ PP de Pappus       \  |_|
 _                ||  \____________________\ | |
| |           ____||___________________      | |
| |           \   ||   )               \     | |
|_|            \(____)) )              _\    |_|
| |             \     ))                 \   | |
|_|              \        PP de Désargues \  |_|
 _                \________________________\ | |
| |__   ____   ____   ____   ____   ____   __| |
 \___) (____) (____) (____) (____) (____) (____/

Depuis l'incidence vers Pappus ?

Munis des seuls axiomes du PPI -plan projectif d'incidence- on ne peut pas démontrer l'alignement de trois points dans la configuration de Pappus.

En géométrie analytique

On pourrait démontrer ainsi le théorème de Pappus en géométrie analytique en coordonnées cartésiennes.

Droite ab' : b'x+ay= ab'

droite ba' : a'x+by= a'b ; leur intersection C a pour coordonnées

et

De même A et .

Pour établir l'alignement, calculons d'abord les coordonnées du vecteur AC

et

donc vecteur AC//vecteur [aa'(b − c) + bb'(c − a) + cc'(a − b)], [aa'(b' − c') + bb'(c' − a') + cc'(a' − b')]

un calcul similaire donnera un vecteur colinéaire à BA

[aa'(b − c) + bb'(c − a) + cc'(a − b)], [aa'(b' − c') + bb'(c' − a') + cc'(a' − b')], ces deux vecteurs BA et AC sont colinéaires et ont un point commun, donc ABC sont alignés.

La vérification est établie. Les calculs sont valables dans un corps commutatif K (réels, complexes ou autres), mais on n'a pas fait le lien avec la géométrie. L'analytique cache les causes plus profondes.

Les birapports

Une démonstration possible du théorème de Pappus peut se faire en utilisant le birapport ou rapport anharmonique. Son exposé traditionnel nécessite les longueurs qui sortent de la géométrie projective stricte. En revanche, on peut définir le birapport sans aucun recours aux notions métriques.

Les homographies

Il serait possible de faire appel aux transformations homographiques du plan qui sont très puissantes. Plus modestement on utilisera des transformations perspectives unidimensionnelles qui découlent d'un axiome fondamental de la géométrie projective.

Du plan fondamental vers Pappus

Ce théorème s'énonce ainsi :

Un plan projectif fondamental (PPF) est pappusien (PPP).

Il se démontre en utilisant une transformation unidimensionnelle identité judicieusement choisie.

Démonstration : Fondamental implique Pappus.

- -Hypothèse : On se place dans un plan projectif fondamental. Soient les points C2 et C3 telsque C2 est l'intersection de A1B3 et A3B1, C3 est l'intersection de A1B2 et A2B1. La droite (c) est C2-C3. C1 est l'intersection de (c) et A2B3, E1 est l'intersection de (c) et A3B2, on se demande si E1=C1. Considérons 4 transformations unidimensionnelles successives [c /A3 /b ], [ b/A1 /c ], [c /B1 / a] et [a /B3 / c]. Leur produit est la transformation unidimensionnelle T= [a /B3 / c] * [c /B1 / a] * [ b/A1 /c ] * [c /A3 /b ]. On examine les transformations de F3, qui sont B3, C2, A3 puis F3. On considère les transformations de A4 qui sont O, A4, A4, A4. On considère les transformations de B4 qui sont B4,B4, O, B4. On considère les transformations de E1 qui sont B2, C3, A2 puis C1. En définitive la transformation T possède trois points fixes ( F3 A4 B4). Comme par hypothèse on est dans un plan projectif fondamental, l'axiome fondamental s'applique, T est donc l'identité projective unidimensionnelle sur la droite (c). Ce qui implique que E1 aussi est fixe, donc C1=T(E1)=E1. Alors C1 est à l'intersecton de (c), A2-B3, A3-B2. C1 est aligné avec C2 et C3, le théorème de Pappus est démontré, ce plan qui était fondamental est donc un plan projectif de Pappus.

depuis Pappus vers Désargues

Il s'agit du Théorème d'Hessenberg version projective. Énoncé :

Un plan projectif de Pappus (PPP) est arguésien (PPA).

Mais il existe des plans arguésiens qui ne sont pas pappusiens. Une démonstration possible, n'ayant pas besoin du théorème fondamental de la géométrie projective, nécessite la création de points d'intersections supplémentaires et l'emploi à trois reprises de l'axiome de Pappus.

On a les deux triangles ABC et A'B'C' en perspective depuis O. On définit des points auxiliaires : T=AC*A'C' ; U=AB*A'B' ; D=AB*OT ; E=DB'**A'C' ; F=EA*oC' ; V=EA*OB' ; les droites auxiliaires GAMMA=DF ; DELTA=TV et W=BC*GAMMA ; W'=B'C'*GAMMA. Le but est de montrer que : U est sur DELTA et W W' sont confondus.

On applique l'axiome de Pappus aux alignements OAA' et EB'D ⇒ TVU alignés (sur DELTA par conséquent). On applique l'axiome de Pappus aux alignements OFC et ABD ⇒ TVW alignés (sur DELTA par conséquent). On applique l'axiome de Pappus aux alignements OFC' et EB'D ⇒ TVW' alignés (sur DELTA par conséquent). Il s'ensuit que W et W' sont à la fois sur DELTA et GAMMA, donc sont un point unique (un axiome des PPI). Donc TUW sont sur DELTA. Or on avait défini W sur BC et W' sur B'C', donc W=BC*B'C'. On a bien démontré le théorème de Désargues, les intersections respectives de AB, BC, CA avec A'B', B'C', C'A' sont alignées.

Du plan homogène vers le fondamental

Ce théorème s'énonce ainsi :

Un plan projectif homogène (PPH) est fondamental (PPF).

Remarque : ce théorème utilise les propriétés algébriques du corps commutatif K.

Remarque : après ce théorème démontré nécessairement par une méthode de géométrie analytique, quasiment toute la suite de l'étude de la géométrie projective pourra se faire sans calculs analytiques.

Depuis Désargues vers les coniques

Parvenus à ce point, on peut introduire les coniques. L'approche des coniques peut être fondée sur le théorème de Pascal. Plusieurs définitions des coniques peuvent être adoptées :

• en termes de courbes du second degré.
• en termes d'intersection d'un cône et d'un plan. C'était la définition bimillénaire, voir conique.
• en termes de faisceaux de droites en correspondance homographique.
• en termes de birapport constant.
• en termes de courbe autoduale, comme le fait H.S.M. Coxeter.

On peut adopter une discipline axiomatique.

Des choix cornéliens pour approfondir les plans projectifs

Lorsque l’on aborde les plans projectifs selon une cascade d’axiomes reliés par une cascade de théorèmes il est possible d’hésiter, la tentation de tout démontrer d’un seul coup avec un théorème très puissant est forte, ou la tentation de tout démontrer algébriquement.

Premier choix, géométrie pure (synthétique) ou analytique ?

Une première alternative s'est posée à divers auteurs dans leur tentative de formalisation : géométrie pure ou géométrie analytique ? En effet depuis Descartes puis Newton, Liebnitz, Euler la géométrie s'est progressivement algébrisée à tel point qu'il est désormais courant que l'on définisse le plan projectif comme un être particulier d'une branche abstraite telle que la géométrie algébrique (un PP est une certaine « variété ») ou la géométrie combinatoire (un PP d'ordre n est un ensemble de n²+n+1 points et droites tels que...) ou découlant d'un espace vectoriel (un PP est un EV-{000}). À partir de ces définitions il sera facile de démontrer les théorèmes de Pappus et de Désargues, les propriétés de transformations homographiques voire réinventer les coniques, les polaires, les tangentes, les intersections sans oublier le birapport. C'est ce que fit Jules Molk dans sa géométrie algébrique plane de 1915 rééditée en 1992. La démarche opposée est celle des géomètres « purs ». On ne fait rien par le calcul, on démontre tout en pure géométrie. Poncelet (1788-1867) d'ailleurs affirme le projet de « rendre la géométrie enfin indépendante de l'analyse algébrique ». Autant que possible on suivra cette tendance qui finalement revient à formaliser la démarche artisanale des peintres depuis au moins la Renaissance.

Deuxième choix, force ou précision ?

Certains auteurs partent de quelques grands axiomes, quelques grands théorèmes, toutes les propriétés des plans projectifs en découlent. Par exemple Coxeter, Toronto 1987 à partir des « projectivities », du théorème fondamental et des polarités démontre rapidement -quelques pages- tout depuis le théorème de Pappus jusqu'aux coniques. De même dans l'exemple précité Jules Molk dans sa géométrie algébrique plane part de C^3-{000} et étudie tout sur les coniques. C'est particulièrement rapide et efficace. L'autre démarche consiste à examiner avec précision les explications de telle ou telle propriété, à en retrouver les fondements axiomatiques. C'est une méthode minimaliste, démontrer le maximum de choses avec un minimum d'axiomes. Autant que possible nous suivrons ici cette tendance. On peut se poser certaines questions :

• qu'y a-t-il entre le bloc Pappus-Désargues et les coniques ?
• qu'y a-t-il entre les axiomes d'incidence et le bloc Pappus-Désargues ?
• y a-t-il des concepts intermédiaires entre l'axiome de Pappus et le théorème de Désargues, ce bloc est-il vraiment monolithique ?

Questions soulevées par l'explosion combinatoire

Si l'on observe la configuration de Désargues, on constate que 4 couples de triangles peuvent être créés. En plus de ABC-A'B'C' sur lequel on a coutume de travailler, il y a aussi ABC'-A'B'C, AB'C'-A'BC et AB'C-A'BC' qui donnent 3 nouvelles droites de Désargues, d'où un quadrilatère complet ; de plus, la même étude combinatoire menée sur le théorème dual conduit à 4 triangles qui donnent, outre le point O, 3 autres points de convergence des côtés, d'où un quadrangle complet. Quelles sont les propriétés de ce quadrangle et de ce quadrilatère, comment se déduisent-ils l'un de l'autre ? La configuration de Pappus offre une plus forte permutation ; il y a 6 hexagrammes non dégénérés (A1 C2 B1 A2 C1 B2, dessiné ci-contre ; A1 C2 B1 B2 C1 A2 ; A1 B2 B1 C2 C1 A2 ; A1 B2 B1 A2 C1 C2 ; A1 A2 B1 B2 C1 C2 ; A1 A2 B1 C2 C1 B2 ; ), donc 6 droites de Pappus. Quelles sont les propriétés de ces 6 droites ? En fait on peut démontrer qu'elles sont concourantes en deux groupes de 3. Mais de quels axiomes minimaux a-t-on besoin pour démontrer cette propriété ? L'axiome Fondamental de la géométrie projective est-il indispensable ? l'axiome de Désargues suffirait-il ? Quant à l'hexagramme de Pascal (voir Traité projectif des coniques), de nombreux mathématiciens du XIX^e siècle se sont penchés sur les diverses permutations du parcours des 6 points. Il s'agit particulièrement de Bauer, Catalan, Cayley, Fontaneau, Gräfe, Grossmann, Hesse, Jörres, Kirkman, Ladd-Franklin-Christine, Little[[{{{1}}}|{{{1}}}]] , Lüroth, Meyer, Molk, Plücker, Salmon, Jakob Steiner, Veronese-G., von Staudt. Avec 6 points, on peut réaliser 60 parcours hexagonaux, donc 60 droites de Pascal. Quelles sont les propriétés de ces 60 droites, comment sont disposées leurs intersections dans le plan ? Quel rapport avec les 60 points de Brianchon que l'on peut dualement envisager ? Par exemple Steiner a montré qu'elles sont concourantes 3 à 3, d'où 20 « points de Steiner ».

Pour approfondir.

• Rappel des notions : Axiomes de plans projectifs et Axiomes de plans projectifs/homogènes.
• Suite : Traité projectif des coniques.

Liens externes

• Développements sur le Thèorème de Pappus : Merveilleux Pappus

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