Théorèmes d'isomorphismes

Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

Premier théorème d'isomorphisme

Proposition — Soient $G$ et $G'$ deux groupes et soit $f:G \rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors $\ker \, f$ est un sous-groupe normal de $G$ .

Démonstration

Notons $.$ la loi de $G$ et $G'$ . On notera alors 1 l'élément neutre de $G$ et $G'$ .

Vérifions que $\ker \, f$ est stable par conjugaison, c'est-à-dire que si $(x, h) \in G\times \ker f, x . h . x^{-1} \in \ker f$ .

$f (x . h . x - 1) = f (x). f (h). f (x - 1)$

Comme $h \in \ker f$ , $f (h) = 1$ . Donc, $f (x . h . x - 1) = f (x). f (x - 1) = f (x . x - 1) = f (1) = 1$

D'où $x . h . x^{-1} \in \ker f \,$ et $\ker \, f$ est un sous-groupe normal de $G$ .

Le fait que $Ker \, f$ soit un sous-groupe distingué de G permet de définir sur le groupe quotient $G / Ker \, f$ une loi compatible avec celle du groupe G. Grâce à cette compatibilité, le morphisme de groupes $f : G \rightarrow G'$ va permettre de définir l'isomorphisme $h : G / Ker \, f \rightarrow {\rm Im} \, f$ .

Premier théorème d'isomorphisme — Soient $G$ et $G'$ deux groupes, et soit $f:G \rightarrow G'$ un morphisme de groupes. Alors $f$ induit un isomorphisme de $G/\ker\, f$ vers $f (G)$ .

Démonstration

Construisons l'application $h$ de $G/\ker \, f$ vers $Im \, f = f(G)$ .

$h$ est définie de la façon suivante :

pour $[x] \in G/\ker$ , $h ([x]) = f (x)$ où $x$ est un représentant de la classe d'équivalence $[x]$ .

$h$ est ainsi bien définie. En effet, soit $y$ un autre représentant de la classe d'équivalence $[x]$ , alors :

$h ([y]) = f (y) = f (x x - 1 y) = f (x) f (x - 1 y)$ .

Comme $x \mathcal R y$ , $x^{-1} y \in \ker \, f$ et $f (x - 1 y) = 1$ . D'où $h ([y]) = f (x) = h ([x])$ .

Puisque la valeur de l'aplication h ne dépend pas du représentant choisi de la classe $[x]$ , cette application est bien définie.

Par définition, h est un morphisme de groupe.

Montrons que h est injective. Soient $[x]$ et $[y]$ $\in G/\ker \, f$ tels que $h ([x]) = h ([y])$ .

Donc $f (x) = f (y)$

$f (x) f (y) - 1 = 1$

$f (x y - 1) = 1$

$x y^{-1} \in \ker \, f$ .

Par définition de la classe d'équivalence sur $G/\ker \, f$ , on a $[x] = [y]$ . L'application h est donc injective.

D'après le théorème du rang, ${\rm dim \, Im }f+{\rm dim \, Ker }f = \dim G$ ,

alors $\dim G - {\rm dim \, Ker }f = {\rm dim \, Im }f$ .

Or, $\dim G/\ker \, f = \dim G - {\rm dim \, Ker }f$ .

Donc, $G/\ker \, f$ et ${\rm dim \, Im }f \,$ ont même dimension.

Comme l'espace de départ et d'arrivée de h ont même dimension, si h est injective, alors h est aussi surjective. Donc h est un isomorphisme.

Ici, $ker f$ désigne le noyau de $f$ et $G / ker f$ désigne le quotient du groupe $G$ par le noyau de $f$ .

On a donc le diagramme commutatif suivant :

où s est la surjection canonique, i l'injection identité et $h$ est l'isomorphisme induit de $G/\ker \, f$ vers $Im \, f = f(G)$ .

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme — Soient $G$ un groupe, $N$ un sous-groupe normal de $G$ et $H$ un sous-groupe de $G$ . Alors $N \cap H$ est un sous-groupe normal de $H$ , et on a l'isomorphisme suivant:

$H/(H\cap N)\simeq N H/N.$

Démonstration

Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme — Soient $G$ un groupe, $N$ et $M$ deux sous-groupes normaux de $G$ . Alors $N / M$ est alors un sous-groupe normal de $G / M$ et on a l'isomorphisme suivant :

$(G/M)/(N/M)\simeq G/N.$

Démonstration

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