Théorème des segments emboîtés

Théorème des segments emboîtés

Théorème des fermés emboités

Soit (E,d) un espace métrique que l'on suppose complet. Soit Fn une suite décroissante de fermés non vide de E dont le diamètre tend vers zéro. Le théorème des fermés emboités affirme alors que l'intersection des Fn est réduite à un point.

Démonstration

Si on prend un élément xn dans chaque Fn, la suite (xn) est de Cauchy. En effet, pour un \varepsilon>0 fixé, il existe un rang N à partir duquel on a \mathrm{Diam}(F_n,F_m)<\varepsilon, et en particulier d(x_n,x_m)<\varepsilon. Cette suite est donc convergente car E est complet. Par ailleurs sa limite x appartient à chaque Fn car si n\in\mathbb{N} et m>n, alors x_m \in F_m\subset F_n donc (x_m)_{m>n}\in F_n^\mathbb{N}. Fn étant fermé,x=lim_{m \to \infty}(x_m)\in F_n, et ce pour tout n. On a donc prouvé que l'intersection des Fn est non vide.

Elle est de plus réduite à un point, car s'il existe deux points x et y dans cette intersection, alors comme le diamètre tend vers zéro on a d(x,y) qui tend vers zéro également, donc nécessairement x = y.

Lorsque E=\mathbb R et les fermés sont des intervalles fermés, le théorème prend donc la forme suivante : soit [an,bn] une suite décroissante de segments de \mathbb R tels que bn − an tende vers zéro, alors l'intersection des segments [an,bn] est un singleton. Ce corollaire particulier est connu sous le nom de théorème des segments emboités.

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