Théorème de von Staudt-Clausen

En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.

Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute ¹⁄_p à $B n$ pour tous les nombres premiers $p$ tels que $p - 1$ divise n, on obtient un nombre entier :

$B_{2k} + \sum_{(p-1)|2k} \frac1p\quad\in \mathbf{Z}$ .

La propriété est également vérifiée pour n = 1 : $B_1+\frac12=0$ . (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient ¹⁄₂.)

Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair $B_{2k}\; (k\geq1)$ s'écrivent :

$B_{2k} = A_{2k} - \sum_{(p-1)|2k} \frac1p$

où $A_{2k}\;$ est un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli $B n$ non entiers comme le produit de tous les nombres premiers $p$ tel que $p - 1$ divise $n$ ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.

Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt (1798-1867) et Thomas Clausen (de) (1801-1885), qui l'ont découvert indépendamment en 1840.

Exemples

$b_1=0-\frac{1}{2}$

$b_2=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

$b_4=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{30}$

$b_6=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{1}{42}$

(b 8 = b 4)

$b_{10}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{11}=\frac{5}{66}$

$b_{12}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{13}=-\frac{691}{2\; 730}$

$b_{14}=2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$

(b 14 = b 2 + 1)

$b_{16}=-6-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{17}=-\frac{3\; 617}{510}$

$b_{18}=56-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}-\frac{1}{19}=\frac{43\; 867}{798}$

$b_{20}=-528-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{11}=-\frac{174\; 611}{330}$

$b_{22}=6\;193-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{23}=\frac{854\; 513}{138}$

$b_{24}=-86\;579-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{13}=-\frac{236\;364\;091}{2\;730}$

$(b_{24}=-86\; 580+b_{12})$

Bibliographie

Z. I. Borevitch (en) et I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1966, p. 431-433
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Fonctions d'une variable réelle, nouvelle édition, 1971, VI, p. 24
G. H. Hardy et E. M. Wright (en), Introduction à la théorie des nombres, théorème 118

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