Théorème de von Staudt-Clausen

Théorème de von Staudt-Clausen

En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.

Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute 1⁄p à Bn pour tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise n, on obtient un nombre entier :

B_{2k} + \sum_{(p-1)|2k} \frac1p\quad\in \mathbf{Z} .

La propriété est également vérifiée pour n = 1 : B_1+\frac12=0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient 1⁄2.)

Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair B_{2k}\; (k\geq1) s'écrivent :

B_{2k} = A_{2k} - \sum_{(p-1)|2k} \frac1p

où A_{2k}\; est un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli Bn non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p − 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.

Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt (1798-1867) et Thomas Clausen (de) (1801-1885), qui l'ont découvert indépendamment en 1840.

Exemples

b_1=0-\frac{1}{2}
b_2=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}
b_4=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{30}
b_6=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{1}{42}
(b8 = b4)
b_{10}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{11}=\frac{5}{66}
b_{12}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{13}=-\frac{691}{2\; 730}
b_{14}=2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{7}{6} (b14 = b2 + 1)
b_{16}=-6-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{17}=-\frac{3\; 617}{510}
b_{18}=56-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}-\frac{1}{19}=\frac{43\; 867}{798}
b_{20}=-528-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{11}=-\frac{174\; 611}{330}
b_{22}=6\;193-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{23}=\frac{854\; 513}{138}
b_{24}=-86\;579-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}-\frac{1}{13}=-\frac{236\;364\;091}{2\;730}
(b_{24}=-86\; 580+b_{12})

Bibliographie


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