Théorème de réarrangement de Riemann

En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à valeurs réelles est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, et même tendre vers plus ou moins l'infini.

Sommaire

1 Énoncé
2 Démonstration
- 2.1 Lemme
- 2.2 Démonstration principale
  - 2.2.1 Construction de la permutation
  - 2.2.2 Convergence
3 Références

Énoncé

Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite à valeurs réelles telle que sa série associée soit semi-convergente, c'est-à-dire que

$\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \R,$

mais

$\sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty,$

Et soit $\alpha \in \R \cup \{-\infty,+\infty\}.$

Alors il existe une permutation $σ$ de $\N$ tel que

$\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \alpha.$

Démonstration

Lemme

Posons

$\forall n \in \N,\ a_n=\max(u_n,0) \quad \text{et} \quad b_n=\min(0,u_n).$

On a alors

$\forall n \in \N,\ u_n=a_n+b_n; \qquad (1)$

$\forall n \in \N,\ |u_n|=a_n-b_n. \qquad (2)$

Les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent ou divergent simultanément d'après (1) car la série $\sum u_n$ converge. Mais si les deux convergent, cela implique d'après (2) que la série $\sum |u_n|$ converge, ce qui est absurde. Finalement, comme $a_n \geq 0$ et $b_n \leq 0$ pour tout $n \in \N$ , on a

$\sum_{k=0}^n a_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{et} \quad \sum_{k=0}^n b_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} -\infty.\qquad (3)$

Démonstration principale

On suppose ici que $\alpha\in \R$ .

Construction de la permutation

On construit une permutation $σ$ de $\N$ de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs (sans en omettre) ou nuls jusqu'à dépasser $α$ (possible d'après (3)). Puis on somme tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à $α$ (possible d'après (3)). Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc... On a bien construit une permutation.

Convergence

Soit $ε > 0$ . Il existe $N_0\in \N$ tel que pour tout $n \in \N$ ,

$n\geq N_0 \Longrightarrow |u_n|\leq\varepsilon.$

Sinon la série serait grossièrement divergente. Il existe donc $N_1\in\N$ tel que pour tout $n \in \N$ ,

$n\geq N_1 \Longrightarrow |u_{\sigma(n)}|\leq\varepsilon.$

Par exemple, il suffit de prendre $N_1=1+\max\{\sigma^{-1}(0),\sigma^{-1}(1),\ldots,\sigma^{-1}(N_0)\}$ .

Soit maintenant $N 2$ le plus petit entier strictement supérieur à $N 1$ tel que $u_{\sigma(N_2)}$ et $u_{\sigma(N_2+1)}$ soient de signes opposés. On a alors

$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{N_2-1} u_{\sigma(k)} \right| \leq | u_{\sigma(N_2)}|\leq \varepsilon.$

Pour $n \geq 2$ , on pose alors la proposition

$\mathcal{P}(n): \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

On a vu que $\mathcal{P}(N_2-1)$ est vraie. Supposons alors que pour $n \geq N_2-1$ , la proposition $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. Distinguons alors deux cas:

Premier cas, on a

$0<\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq \varepsilon.$

Alors $0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon$ donc

$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

Deuxième cas, on a

$-\varepsilon \leq \alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq 0.$

Alors $-\varepsilon \leq u_{\sigma(n+1)} < 0$ donc

$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$

Finalement par principe de récurrence, on a montré que

$\forall \varepsilon>0,\ \exists N_2 \in \N,\ \forall n \in \N,\ n \geq N_2 \Longrightarrow \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon,$

ce qui achève la preuve.

Références

L'article de Bernhard Riemann Histoire des recherches relatives à la représentation par une série trigonomètrique d'une fonction donnée arbitrairement dans l'ouvrage Et Dieu créa les nombres, les plus grands textes de mathématiques réunis et commentés par Stephen Hawking chez Dunod.

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