Théorème de darboux (géométrie)

Théorème de darboux (géométrie)

Théorème de Darboux (géométrie)

Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension 2n sont deux à deux localement symplectomorphes. Plus explicitement :

Théorème de Darboux — Si (M,ω) est une variété symplectique de dimension 2n, alors, au voisinage de tout point de M, il existe des coordonnées locales (p,q) = (p1,...,pn,q1,...,qn) de sorte que, dans ces coordonnées, ω s'exprime comme ceci :

\omega=\mathrm dp\wedge \mathrm dq

Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe C2, la courbure.

Démonstration

La question est locale, et on peut fort bien supposer que la variété M est un ouvert U de \R^n, étoilé en 0, et ω est une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée avec :

\omega_0=\mathrm dp\wedge \mathrm dq

Par une isotopie, on va déformer ω en ω0. Rappelons que toute isotopie Ψt est le flot d'un champ de vecteurs dépendant du temps Xt.

Posons \omega_t=t\cdot\omega+(1-t)\cdot\mathrm dp\wedge \mathrm dq.

Raisonnons par condition nécessaire. La formule de Cartan permet de dériver l'identité \Phi_t^*\omega_t=\mathrm dp\wedge \mathrm dq :

0=\Phi_t^*\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\omega_t+L_{X_t}\omega_t\right] \Longrightarrow \omega-\mathrm dp\wedge \mathrm dq=-\mathrm d\iota_{X_t}\omega_t

La forme \omega-\mathrm dp\wedge \mathrm dq est exacte sur l'ouvert étoilé U, et donc s'écrit dα où α est une 1-forme différentielle. Pour des raisons de non-dégénérescence, il existe un unique champ de vecteurs dépendant du temps Xt implicitement défini par :

\iota_{X_t}\omega_t=\alpha

Si Φt est le flot, alors Φ1 répond à la question.

Remarque : La démonstration est encore incomplète à ce stade !

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que ... ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :

Quelle est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de \R^n dans (M,ω) ?

Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit r,R > 0 ; l'existence d'un symplectomorphisme B(0,r)\rightarrow B(0,R) implique r\leq R. La capacité symplectique d'une variété symplectique (M,ω) est donnée par :

c(M,\omega)=\sup {r>0, \exists f:B(0,r)\rightarrow M, f^*\omega=\mathrm dp\wedge \mathrm dq}

Voir aussi

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