Théorème de Weierstrass-Casorati

Théorème de Weierstrass-Casorati
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Weierstrass.

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass-Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Karl Weierstrass et Felice Casorati.

Sommaire

Énoncé

Théorème de Weierstrass-Casorati — Soit f une fonction holomorphe sur un disque D(a,r) épointé (c'est-à-dire privé de son centre) avec une singularité essentielle en a (c'est-à-dire que f n'est pas bornée sur un voisinage de a sans pour autant que \lim_{z\to a} |f(z)| existe).

Alors, pour tout k inclus dans ]0,r[, l'ensemble f(D(a,k)\backslash\{a\}) est dense dans \Complex.

Démonstration

Par l'absurde, si f a une singularité essentielle en a, supposons qu'il existe k > 0 tel que f\left(D(a,k)\backslash\{a\}\right) n'est pas dense dans \mathbb{C}. Il existe alors b\in\mathbb{C} et ε > 0 tel que \left|f(z)-b\right|>\epsilon et la fonction g:z\mapsto 1/(f(z)-b) est alors bornée sur D(a,k)\backslash\{a\},

une conséquence de la formule intégrale de Cauchy nous permet donc d'affirmer que a est une singularité apparente de g qui peut se prolonger en une fonction \tilde{g} holomorphe en a. La fonction 1/\tilde{g} est alors soit holomorphe en a si \tilde{g}(a)\neq 0 soit elle possède un pôle si \tilde{g}(a)=0 mais dans tous les cas cela contredit l'hypothèse de singularité essentielle de f en a.

f\left(D(a,k)\backslash\{a\}\right) est donc nécessairement dense dans \mathbb{C}.

Ainsi pour tout k inclus dans ]0,r[ et pour tout c appartenant à \Complex, il existe une suite (zj) de D(a,k)\backslash\{a\} telle que f(zj) tend vers c.

Remarque: on dit qu'une fonction analytique complexe admet un point singulier essentiel en a lorsque le développement en Série de Laurent admet une infinité de termes de la forme a − n / (s − a)n. Si le développement n'a qu'un nombre fini de termes de cette forme, le point a est un pôle de degré égal à la plus grande puissance de 1 / (s − a) (cas le plus fréquent). Il existe un autre type de singularité à ne pas confondre avec la singularité essentielle, le point de branchement: il existe alors dans le développement autour de a soit un terme logarithmique soit des puissances non entières.

Le grand théorème de Picard a complété le théorème de Weierstrass-Casorati en précisant qu'une telle application prend une infinité de fois toutes les valeurs de \mathbb{C} sauf peut être une. La démonstration du théorème de Picard est bien plus difficile que celle du théorème de Weierstrass-Casorati.

Exemples

Tracé du module de la fonction z \mapsto \exp\left(z^{-2}\right). La fonction possède une singularité essentielle en 0. On peut observer que même en étant très près de 0 le module peut prendre toutes les valeurs positives excepté 0
  • La fonction g:z\mapsto 1/z définie sur \mathbb{C}^* possède une singularité qui n'est pas essentielle en 0 (c'est en fait un pôle d'ordre 1). On peut remarquer que \left|g(z)\right|\to\infty quand z\to 0 et la fonction g ne vérifie donc pas le théorème de Weierstrass-Casorati.
  • La fonction définie pour tout z \in \mathbb{C}^* par :
f(z)=\exp\left(\frac{1}{z^2}\right)=1+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2z^4}+\frac{1}{6z^6}+\frac{1}{24z^8}+...

possède une singularité essentielle en 0.

En posant z = x + iy on a \left|f(z)\right|=\exp\left(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right) les courbes de niveaux de \left|f(z)\right| vérifient donc des équations du type x^2-y^2=c\left(x^2+y^2\right)^2 où c est une constante, les courbes de niveaux de \left|f(z)\right| sont donc des lemniscates de Bernoulli.

Une application

L'utilisation du théorème de Weierstrass-Casorati est l'une des méthodes qui permettent de montrer que les seules automorphismes biholomorphes de \mathbb{C} sont des applications f du type f(z) = az + b avec a\neq 0.

Voir aussi

Référence

  • (en) Serge Lang, Complex Analysis, New York, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », janvier 1999, 485 p. (ISBN 0-387-98592-1) 
  • Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes [détail des éditions]

Lien externe

  • [1] Cours de Ernst Hairer de l'université de Genève au format PDF.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Weierstrass-Casorati de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Weierstrass-Casorati — Théorème de Weierstrass Casorati En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d une singularité essentielle d une fonction holomorphe. Il est… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de weierstrass-casorati — En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, le théorème de Weierstrass Casorati décrit une propriété topologique des voisinages d une singularité essentielle d une fonction holomorphe. Il est nommé ainsi en l honneur des… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Weierstrass — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs théorèmes sont attribués à Karl Weierstrass ou le mentionnent dans leur nom. Théorème de Bolzano Weierstrass Théorème de factorisation de… …   Wikipédia en Français

  • Weierstrass — Karl Weierstrass Karl Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde (Westphalie) …   Wikipédia en Français

  • Karl Weierstrass — Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde en Westphalie ( …   Wikipédia en Français

  • Karl Theodor Wilhelm Weierstrass — Karl Weierstrass Karl Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass Naissance 31 octobre 1815 Ostenfelde (Westphalie) …   Wikipédia en Français

  • Petit théorème de Picard — Théorèmes de Picard Les théorèmes de Picard, du mathématicien Émile Picard, sont au nombre de deux : Le petit théorème de Picard dit qu une fonction entière non constante prend tout nombre complexe comme valeur, sauf peut être un. Le grand… …   Wikipédia en Français

  • Felice Casorati (mathématicien) — Pour les articles homonymes, voir Felice Casorati. Felice Casorati. Felice Casorati (Pavie, 17 décembre 1835 – Casteggio, 11 se …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”