Singularite apparente

Singularité en analyse complexe

En analyse complexe à une variable, une singularité d'une fonction f est un point z sur le voisinage apointé duquel la fonction f est définie et holomorphe. Autrement dit, on dispose d'une fonction f d'une variable complexe régulière (= holomorphe) définie sur un ouvert U du plan complexe C ; une singularité de f est un point isolé du bord de U. Le premier paragraphe clarifie la définition.

Les singularités se classent en trois types : singularités effaçables, pôles, et singularités essentielles.

Définition détaillée

Augustin Louis Cauchy

Une fonction holomorphe est une fonction f d'une variable complexe, définie et dérivable sur un ouvert U. Une telle fonction est développable en séries entières au voisinage de chaque point de U: ce premier résultat révèle la rigidité qui caractérise l'analyse complexe. Il peut être intéressant de s'intéresser au comportement de f sur le bord de U.

Une singularité de f est un point isolé du bord de U. Étudier les singularités d'une fonction holomorphe, c'est étudier le comportement de f en les points isolés du bord de U.

Un voisinage apointé de Z est un voisinage de Z privé de Z. Cette définition permet de caractériser les points isolés du bord:

Un nombre complexe Z est un point isolé du bord de U si et seulement si U est un voisinage apointé de Z.

On peut donc redéfinir les singularités de f comme les nombres complexes au voisinage apointé desquels f définit une fonction holomorphe. Pour des raisons pratiques et calculatoires, de nombreux auteurs se placent directement sur un "disque apointé".

Un disque apointé D en Z est un disque centré en Z privé du point Z. Autrement dit, D est l'ensemble des nombres complexes z tels que 0<|z-Z|<r où r est le rayon du disque apointé. Bien sûr, un disque apointé est un cas particulier de voisinage apointé.

Classification

Singularité effaçable

Une singularité Z d'une fonction holomorphe est effaçable si f se prolonge au voisinage de Z en une fonction holomorphe. Autrement dit, on peut effacer la singularité Z, l'oublier, et penser f comme une fonction holomorphe définie au voisinage de Z.

La singularité Z de f est effaçable si et seulement si f est une fonction bornée sur un voisinage apointé de Z.

En particulier, un prolongement continu g de f en une singularité est nécessairement une fonction holomorphe. En effet, l'existence d'un prolongement continu de f implique que f est bornée sur tout voisinage apointé suffisamment petit de Z. Par conséquent, la singularité Z est effaçable, ce qui signifie que f admet un prolongement holomorphe h en Z. Comme toute fonction holomorphe est continue, la fonction h est aussi un prolongement continu de f en Z et donc coïncide avec g. En particulier, g=h est holomorphe.

Preuve de l'équivalence

On peut supposer Z=0 et se placer sur le disque apointé D' en 0 de rayon r. On considère donc une fonction f holomorphe sur D'.
Sens direct: Si f se prolonge en 0 (prolongement holomorphe), alors le prolongement de f est en particulier une fonction continue sur le disque D de centre 0 et de rayon r. Le disque fermé de centre 0 et de rayon r/2 est un compact, en restriction duquel le prolongement est borné. Par conséquent la fonction f prend des valeurs bornées sur le disque apointé de centre 0 et de rayon r/2.
Sens réciproque: Réciproquement, supposons que f est bornée sur un voisinage apointé de 0. Quitte à restreindre r, la fonction f est supposée bornée sur le disque apointé D'. On définit une fonction auxiliaire g par:; $g (z) = z 2 f (z)$ .; A priori, g est une fonction holomorphe sur le disque apointé D'. Comme f est bornée, g(z) est négligeable devant z. Par conséquent, g se prolonge par continuité en 0 en une fonction d'une variable complexe ; et le prolongement, noté abusivement g, est dérivable. Plus précisément, la fonction g et sa dérivée s'annulent en 0.; Donc, g est une fonction holomorphe sur le disque D de centre 0 et de rayon r. Par conséquent, elle est développable en séries entières en 0:; $g(z)=\sum_{n\geq 2}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}z^n$; La série entière converge normalement sur voisinage compact de 0. Par division par z², on trouve immédiatement:; $f(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{g^{(n+2)}(0)}{(n+2)!}z^n$; Donc, sur un voisiange apointé de 0, f coïncide avec la somme d'une série entière. Par conséquent, f se prolonge en une fonction holomorphe en 0.

L'exemple est la fonction $z\in \C^* \mapsto \sin z/z \in \C$ .

Pôle

La singularité Z est appelée un pôle de f si :

La singularité est non effaçable ;
Et pour n suffisamment grand, la fonction $z\mapsto (z-Z)^nf(z)$ se prolonge en une fonction holomorphe en Z.

Le plus petit entier n possible est appelé l'ordre du pôle Z.

Une singularité Z de f est un pôle si et seulement si f converge en l'infini en Z.

Preuve de l'équivalence

Comme ci-dessus, on suppose Z = 0, et on regarde la fonction f sur le disque apointé D' de centre 0 et de rayon r.
Sens direct: Notons N l'ordre du pôle 0 de f. Alors, $g (z) = z N f (z)$ se prolonge en une fonction holomorphe en 0, qui ne s'annule pas en 0^{[précision nécessaire]}. En particulier, f équivaut en 0 à $z\mapsto g(0)z^{-N}$ . Donc, en particulier, f tend vers l'infini en 0.
Sens réciproque: Comme f tend vers l'infini en 0, la fonction f ne s'annule pas au voisinage de 0. Quitte à restreindre r, on peut supposer, sans perte de généralité, que g=1/f est bien définie sur le disque apointé D'. C'est une fonction holomorphe sur le disque apointé D', et qui se prolonge par continuité en 0 par la valeur g(0)=0. Par ce qui précède, le prolognement g est une fonction holomorphe qui s'annule en 0.; Posons N l'ordre de 0 comme zéro de la fonction holomorphe g. Au voisinage de 0, g s'écrit : g(z)=z^Nh(z), où h est une fonction holomorphe qui ne s'annule pas en 0. L'inverse k=1/h est une fonction définie et holomorphe au voisinage de 0.; Il s'en suit:; $z N f (z) = k (z)$; Par conséquent, 0 est un pôle de f ; et à ce stade, il ne serait pas difficile de prouver que N est l'ordre du pôle!

Les fractions rationnelles sont des exemples typiques de fonctions présentant des pôles. On peut aussi citer les célèbres fonctions gamma d'Euler et zêta de Riemann qui présentent toutes les deux des pôles.

Singularité essentielle

La singularité Z est essentielle dans tous les autres cas. Le comportement de f au voisinage apointé de Z est dans ce cas très compliqué. En particulier, on peut citer le théorème de Weierstrass-Casorati et les deux théorèmes de Picard.

L'exemple classique est la fonction $z \in \C^* \mapsto \exp(1/z)$ .

Série de Laurent

Article détaillé : série de Laurent.

Si f est une fonction holomorphe sur un disque apointé D de centre a et de rayon r, il existe une unique suite de complexes $(a_n)_{n\in \mathbf{Z}}$ telle que sur D:

$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n{(z-a)}^n$ ,

où la série converge normalement sur tout compacte du disque apointé D.

On peut lire la nature de la singularité sur les coefficients $a n$ :

Relation série de Laurent/singularité
Nature de la singularité	Information sur les coefficients de la série de Laurent
Singularité effaçable	Les coefficients a_n sont nuls pour les indices n<0
Pôle d'ordre k	Les coefficients a_n sont nuls pour les indices n<-k
Singularité essentielle	Il existe une infinité d'indices négatifs -n pour lesquels a_-n est non nul

Voir aussi

Théorèmes de Picard

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Singularit%C3%A9 en analyse complexe ».

Catégorie : Analyse complexe

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Singularite apparente de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Singularité apparente — Singularité en analyse complexe En analyse complexe à une variable, une singularité d une fonction f est un point z sur le voisinage apointé duquel la fonction f est définie et holomorphe. Autrement dit, on dispose d une fonction f d une variable … Wikipédia en Français
Singularite (mathematiques) — Singularité (mathématiques) En mathématiques, une singularité est en général un point, une valeur ou un cas dans lequel un certain objet mathématique n est pas bien défini. Par exemple la fonction: admet une singularité en x=0. Sommaire 1 Matrice … Wikipédia en Français
Singularité (Mathématiques) — En mathématiques, une singularité est en général un point, une valeur ou un cas dans lequel un certain objet mathématique n est pas bien défini. Par exemple la fonction: admet une singularité en x=0. Sommaire 1 Matrice singulière 2 Analyse… … Wikipédia en Français
Singularité polaire — Singularité (mathématiques) En mathématiques, une singularité est en général un point, une valeur ou un cas dans lequel un certain objet mathématique n est pas bien défini. Par exemple la fonction: admet une singularité en x=0. Sommaire 1 Matrice … Wikipédia en Français
Singularité (mathématiques) — En mathématiques, une singularité est en général un point, une valeur ou un cas dans lequel un certain objet mathématique n est pas bien défini. Par exemple la fonction: admet une singularité en x=0. Sommaire 1 Matrice singulière 2 Analyse… … Wikipédia en Français
singularité — [ sɛ̃gylarite ] n. f. • singulariteit 1190; bas lat. singularitas « unicité » 1 ♦ Vx ou didact. Caractère de ce qui est singulier (I), unique. ♢ Sc. Objet individualisé, singulier (II, 1o). Les corpuscules « constituant dans l espace des sortes… … Encyclopédie Universelle
Métrique de Schwarzschild — Pour consulter un article plus général, voir : Trou noir de Schwarzschild. Karl Schwarzschild (1873 1916) … Wikipédia en Français
Metrique de Schwarzschild — Métrique de Schwarzschild Pour consulter un article plus général, voir : Trou noir de Schwarzschild. En astrophysique, et plus précisément dans le cadre de la Relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une métrique permettant de… … Wikipédia en Français
Métrique De Schwarzschild — Pour consulter un article plus général, voir : Trou noir de Schwarzschild. En astrophysique, et plus précisément dans le cadre de la Relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une métrique permettant de décrire le champ… … Wikipédia en Français
Métrique de schwarzschild — Pour consulter un article plus général, voir : Trou noir de Schwarzschild. En astrophysique, et plus précisément dans le cadre de la Relativité générale, la métrique de Schwarzschild est une métrique permettant de décrire le champ… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Singularite apparente

Singularité en analyse complexe

Sommaire

Définition détaillée