Théorème de Wantzel

Le théorème de Wantzel, énoncé par Pierre-Laurent Wantzel en 1837^[1], précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il peut s'énoncer de la manière suivante

Le réel a est constructible si et seulement s'il existe une suite finie de corps L_i tels que

• L₀ =
• L_i+1 est une extension quadratique de L_i
• le réel a appartient à L_n .

Wantzel donne alors une condition nécessaire pour qu'un nombre a soit constructible :

Si le réel a est constructible alors son polynôme minimal est de degré 2ⁿ

Cette condition nécessaire permet (par sa contraposée) de démontrer que la duplication du cube et la trisection de l'angle ne sont pas réalisables à la règle et au compas.

Toutefois, cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Par exemple, le polynôme x⁴ + 2x - 2 est bien irréductible de degré 4 mais ses racines ne sont pas constructibles.

Quelques pistes pour comprendre

construction de l'heptadécagone (17 côtés) à la règle et au compas (cliquer pour voir la construction s'effectuer)

Les Grecs ne pouvaient imaginer que des nombres positifs constructibles. Il faut pour suivre la démonstration élargir le champ des nombres constructibles en ajoutant la condition : si a est constructible alors - a est constructible.

D'où une nouvelle définition des nombres constructibles : est constructible toute coordonnée d'un point constructible.

La démarche est alors la suivante : si K est un corps de nombres constructibles, on considère, dans le plan, tous les points dont les coordonnées appartiennent à K, l'ensemble E_K. Quels sont les points que l'on peut construire à la règle et au compas à partir des points de E_K ?

• Le point d'intersection de deux droites
• Le point d'intersection d'un cercle et d'une droite
• Le point d'intersection de deux cercles

Intersection de deux droites

Deux droites (AB) et (CD) dont les points A, B, C, D sont dans E_K ont pour équation

ax + by + c = 0 et ux + vy + t = 0 où a, b, c, u, v, t sont des éléments de K

Trouver les coordonnées (x, y) du point d'intersection I de ces deux droites revient à résoudre un système d'équations linéaires dans K. Les réels x et y sont éléments de K. Le point I appartient à E_K.

Intersection d'une droite et d'un cercle

La droite (AB) a pour équation ax + by + c = 0 et le cercle de centre C passant par D a pour équation x² + ux + y² + vy + t = 0.

Trouver les coordonnées des points d'intersection du cercle et de la droite revient, par substitution, à résoudre une équation du second degré sur K : P₂(x) = 0 ou P₂(y) = 0. Si le point d'intersection existe, ou bien cette équation possède des solutions dans K, ou bien cette équation est irréductible sur K mais possède des solutions dans l'extension quadratique L = K(X)/P₂. Alors tous les réels de L sont aussi constructibles car ils s'écrivent a + bx où a et b sont dans K et x est solution de P₂(x) = 0

Intersection de deux cercles

Trouver l'intersection de deux cercles revient à trouver l'intersection d'un cercle avec une droite car le système

x² + ax + y² + by + c = 0 et x² + ux + y² + vy + t = 0

équivaut au système

x² + ax + y² + by + c = 0 et (a - u)x + (b - v) y + c - t = 0.

Les coordonnées des points d'intersections appartiennent alors soit à K, soit à une extension quadratique de K constituée de nombres constructibles.

Conclusion

Un nombre est constructible si et seulement si on peut le construire en n étapes comme intersection de deux cercles, de deux droites ou d'un cercle et d'une droite, en partant de points dont les coordonnées sont rationnelles.

À chaque étape, ou bien les coordonnées restent dans le corps K de nombres constructibles d'origine, ou bien elles « sautent » dans une extension quadratique de celui-ci. Il existe bien une suite d'extensions quadratiques vérifiant les conditions requises.

Conséquences

La force du théorème de Wantzel est de dire que, puisque a appartient au dernier maillon d'une chaîne d'extensions quadratiques, il est solution d'une équation de degré 2ⁿ sur . Mais il démontre aussi^[2] que le degré du polynôme minimal de a est nécessairement de la forme 2^m.

En conséquence, comme le polynôme minimal du nombre ³√2 est x³ - 2 = 0 de degré 3, ce nombre n'est pas constructible.

Enfin, réaliser la trisection de l'angle revient à construire, à partir du point de coordonnées (a, b)

a=cos(θ) et b =sin(θ),

le point de coordonnées

(cos(q),sin(q)) avec q = θ/3.

En utilisant la formule trigonométrique

cos(3q) = 4cos³(q) - 3cos(q)

on s'aperçoit que cos(q) doit être solution de l'équation :

4x³ - 3x = a.

La trisection de l'angle θ est donc réalisable si et seulement si le polynôme 4X³ - 3X - a est réductible sur , autrement dit s'il admet une racine qui est une fonction rationnelle de a, ce qui n'est jamais le cas si a est transcendant (en particulier si θ est algébrique non nul), et n'est même pas toujours le cas si a est algébrique : par exemple^[3] pour θ = π/3, et 4X³ - 3X - 1/2 n'a pas de racine rationnelle, donc est irréductible sur .

Dans la même publication, Pierre-Laurent Wantzel complète les travaux de Gauss sur les polygones réguliers constructibles dans ce qu'on appelle désormais le théorème de Gauss-Wantzel.

Notes et références

Pour en savoir plus

• Jean-Claude Carrega, Théorie des corps - La règle et le compas [détail des éditions]
• Jean-Pierre Escofier, Théorie de Galois [détail des éditions]

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