- Théorème de Krull
-
En algèbre commutative, le théorème de Krull est un résultat fondamental établissant l'existence d'idéaux maximaux pour les anneaux commutatifs, démontré en 1929, par le mathématicien allemand Wolfgang Krull[1]. Relativement à la théorie de Zermelo-Fraenkel, le théorème de Krull équivaut à l'axiome du choix.
Sommaire
Énoncé du théorème de Krull
Théorème de Krull — Soit A un anneau commutatif, alors tout idéal de A distinct de A est inclus dans un idéal maximal.
En particulier, tout anneau commutatif non réduit à 0 possède au moins un idéal maximal, a fortiori au moins un idéal premier.
Krull avait démontré ce résultat en utilisant le théorème du bon ordre[2], équivalent à l'axiome du choix. Max Zorn, alors qu'il ignorait l'article de Krull[2] en donne une autre démonstration publiée en 1935 utilisant ce que l'on appelle maintenant le lemme de Zorn, autre équivalent de l'axiome du choix, dans l'article où il introduit ce dernier et en donne de nombreuses applications à l'algèbre[3].
Répondant à une question posée par Dana Scott, Wilfrid Hodges (de) démontre en 1978 que le théorème de Krull équivaut à l'axiome du choix, dans la théorie de Zermelo-Fraenkel[2],[4]
Conséquences
Soit A un anneau commutatif non réduit à 0.
- Le spectre de A n'est pas vide.
- Le nilradical de A est l'intersection des idéaux premiers de A; plus généralement, le radical de tout idéal propre de A (i.e. distinct de A) est l'intersection des idéaux premiers qui le contiennent.
- Le théorème de Krull permet de montrer l'existence de la clôture algébrique d'un corps commutatif[5]. Ce résultat est cependant antérieur au théorème de Krull, il est dû à Ernst Steinitz en 1910 qui le démontre à l'aide du théorème de Zermelo[6]. Il peut se démontrer directement à partir du lemme de Zorn[7].
Voir aussi
- Théorème d'intersection de Krull (l'intersection des puissances d'un idéal dans un anneau noethérien).
- Théorème des idéaux principaux de Krull (la hauteur d'un idéal monogène dans un anneau noethérien).
Notes et références
- (de) W. Krull, « Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen », dans Mathematische Annalen, vol. 101, 1929, p. 729–744
- (en) Henry E. Heatherly, « Some ring theoretic equivalents to the axiom of choice », dans LA/MS Math. Assoc. Amer. Conf. Proc., 2004
- (en) Max Zorn, « A remark on method in transfinite algebra », dans Bull. Amer. Math. Soc., vol. 41, 1935, p. 667-670
- (en) Wilfrid Hodges, « Krull Implies Zorn », dans J. London Math. Soc., vol. s2-19, 2, 1978, p. 285-287, accès restreint
- Voir par exemple Zorn 1935.
- Selon Zorn 1935
- Par exemple (en) Nathan Jacobson, Lectures In Abstract Algebra, vol. 3, Springer, 1964, 1975
Catégories :- Idéal
- Théorème de mathématiques
- Théorie des ensembles
Wikimedia Foundation. 2010.
