- Théorème des zéros de Hilbert
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Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.
Sommaire
Énoncés
Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes
![K[X_1,\dots,X_n]](b/8fb0fc6d41f2ead31891063330737834.png)
par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de . On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, i.e. l'ensemble des idéaux maximaux de A.Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.
Théorème 1 Soient K un corps, A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.
De façon équivalente: si A est un corps, alors c'est une extension algébrique finie de K. Ce théorème, dont la preuve est relativement longue, a plusieurs conséquences immédiates.
DémonstrationProcédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la k-algèbre A, supposé être un corps. Il faut montrer qu'elle est algébrique sur k. S'il n'y a pas de générateur, alors A=k est effectivement algébrique sur k. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons nous une k-algèbre A engendrée par des éléments x0,x1,...,xn qui soit un corps. Alors en particulier elle est engendrée par les x1,...,xn sur k(x0) corps des fractions de k[x0] inclus dans le crops A. Par hypothèse de récurrence, A est algébrique sur k(x0) (disons que les xi,i > 0, sont annulés par des Pi non-nuls à coefficients dans k(x0)) et il reste à voir que x0 est algébrique sur k. Notant d(x0) le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des Pi, les relations Pi(xi) = 0 montrent que les xi sont entiers sur k[x0]d et donc A tout entière qui est un corps contenant k[x0]d. Ce dernier est donc également un corps car si a y est non nul son inverse vérifie une relation du type P(1/a)=0, avec P à coefficients dans k[x0]d, qu'on muliplie par adegré de P − 1 pour exprimer 1/a comme une somme d'éléments de k[x0]d. Si x0 n'était pas algébrique alors k[x0]d serait isomorphe à k[X]d qui serait donc un corps et donc en évaluant 1 = (1 + d(X))i(X) en une racine de 1+d (qui n'annule pas le dénominateur de i(X)) on obtiendrait 1=0. Finalement x0 est bien algébrique sur k.
Thèorème 2 (Nullstellensatz faible) Supposons que K est algébriquement clos. Alors la fonction
![\begin{array}{lcll} \phi : & {K}^n & \to & \text{Spm } {K}[X_1,\dots,X_n] \\ & (a_1,\dots,a_n) & \mapsto & (X_1-a_1,\dots, X_n-a_n) \end{array}](e/30e7785156a5e9f0a0c16c710dc3e7b5.png)
est une bijection, où
désigne l'idéal engendré par les Xi − ai.Autrement dit un point de Kn s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à n indéterminées sur K quand K est algébriquement clos.
DémonstrationSoit
![M\in\text{Spm }{K}[X_1,\dots,X_n]](b/41bf0faa630f92610fe4e82feb57501a.png)
un idéal maximal. D'après le théorème 1, ![{K}[X_1,\ldots ,X_n] / M](4/ba48fb4f2c809d939cd8990a5efd2dc5.png)
est une extension finie de K ; il est donc égal à K car un corps algébriquement clos n'a que lui-même comme extension finie. Pour tout 
, on note 
la classe de Xi dans le quotient. Alors Xi − ai appartient à M. Donc M contient l'idéal . Comme celui-ci est maximal, on a l'égalité. L'unicité de 
résulte du fait que si 
est un autre n-uplet vérifiant la même propriété, alors ai − bi = (Xi − bi) − (Xi − ai) appartient à M, et est donc nul car sinon ce serait un scalaire inversible dans M.Théorème 3 (Existence des zéros) Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre I de K[X1,...,Xn], il existe un point de Kn racine de tout élément de I.
Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X2 + 1 est maximal dans R[X] puisque le quotient de R[X] par M est un corps isomorphe à C, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans r.
DémonstrationSoit I un tel idéal. Il est contenu dans un idéal maximal M. Il suit du théorème 2 que
et donc 
est une racine commune des éléments de I.Théorème 4 Soit I un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical
de I est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant I.DémonstrationQuitte à remplacer A par A / I, on peut supposer que I = 0. L'inclusion du nilradical dans l'intersection des maximaux est immédiate. Il reste à montrer l'inclusion inverse. Soit f appartenant à l'intersection des maximaux de A. Si f n'est pas nilpotent, on peut considérer la partie multiplicative S de A constituée des puissances entières strictement positives de f. La localisation Af = S − 1A est encore une algèbre de type fini sur K car elle est isomorphe à A[T] / (Tf − 1). Soient M' un idéal maximal de Af et M son image réciproque dans A par l'homomorphisme canonique de localisation
. Alors 
est injectif. Par le théorème 1, Af / M' est une extension finie de K, donc entier sur A / M. C'est alors un exercice facile de voir que A / M est un corps, et donc M est maximal. Par sa construction, M ne contient pas f (celui-ci étant inversible dans Af, M' serait égal à l'idéal unité sinon). Ce qui aboutit à une contradiction puisque f est supposé appartenir à tous les idéaux maximaux de A.Si P est un polynôme
![\in K[X_1,\ldots, X_n]](9/d39fc3e130390d50e41a8ff35644069b.png)
, les zéros de P dans Kn sont les points 
tels que 
.Corollaire (Nullstellensatz fort) Supposons K algébriquement clos. Soient I un idéal de
![K[X_1,\ldots ,X_n]](d/3ad06980b73ce22a39ee73cb65a65198.png)
et Z(I) l'ensemble des zéros communs des polynômes de I. Si f est un polynôme dans qui s'annule sur Z(I), alors une puissance de f appartient à I.DémonstrationPour tout idéal maximal
contenant I, est un point de Z(I), donc annule f. Il suit que f appartient à M. Par le théorème 4, f appartient au radical de I, donc une puissance de f appartient à I.Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste:
- Tout idéal maximal M de (K non nécessairement clos) est engendré par n polynômes.
Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de
ne peut être engendré par strictement moins que n éléments.Théorème de Bézout
Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :
- Soit K un corps algébriquement clos, soient
![f_0,\dots, f_m\in K[X_1,\dots, X_n]](e/5ce71452e653c4c8b29f0c6e2af6ba25.png)
des polynômes sans zéros communs. Alors il existe ![g_0, \dots, g_m\in K[X_1,\dots, X_n]](0/a1084063413f162c81d47a27a3bfad63.png)
vérifiant l'identité de Bézout
L'astuce de Rabinowitsch[1] montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans
, I est l'idéal engendré par 
et f est un polynôme qui s'annule sur Z(I), on considère l'idéal de ![K[X_0, X_1\dots, X_n]](9/db92dc8223dde27d72e7b10eb0895a17.png)
engendré par et par le polynôme 1 − fX0. Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kn + 1. Donc il existe ![g_0,\dots, g_m\in K[X_0, \dots, X_n]](2/922d5c1cc31a0d44b519df1d84681b2e.png)
tels que l'on ait
En remplaçant dans cette identité X0 par 1 / f, et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable N de f, on voit que cette puissance de f appartient à I. De plus, on peut majorer N par le maximum des degrés totaux des
.Voir aussi
Lemme de normalisation de Noether
Références
- (de) J.L. Rabinowitsch, Zum Hilbertschen Nullstellensatz, Math. Ann. 102 (1929), p. 520.
Bibliographie
Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], chap. X, §2.
(en) Christian Peskine, An algebraic introduction to complex projective geometry, I. Cambridge studies in adv. maths. 47 (1996), Chapter 10. (Sur un corps de base infini.)
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