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Théorème de Krull
En algèbre commutative, le théorème de Krull est un résultat fondamental établissant l'existence d'idéaux maximaux pour les anneaux commutatifs, démontré en 1929, par le mathématicien allemand Wolfgang Krull (16 aout 1899 - 12 avril 1971)[1]. Relativement à la théorie de Zermelo-Fraenkel, le théorème de Krull équivaut à l'axiome du choix.
Énoncé du théorème de Krull
Les anneaux commutatifs sont les objets d'étude de l'algèbre commutative. La définition est supposée connue. Un idéal I d'un anneau commutatif A est un sous-groupe additif I de A stable par multiplication par les éléments de A. Un idéal de A est maximal quand il est maximal pour l'inclusion parmi les idéaux de A distincts de A.
Théorème de Krull — Soit A un anneau commutatif, alors tout idéal de A distinct de A est inclus dans un idéal maximal.
En particulier, tout anneau commutatif non réduit à 0 possède au moins un idéal maximal, a fortiori au moins un idéal premier.
Krull avait démontré ce résultat en utilisant le théorème du bon ordre[2], équivalent à l'axiome du choix. Max Zorn, alors qu'il ignorait l'article de Krull[2] en donne une autre démonstration publiée en 1935 utilisant ce que l'on appelle maintenant le lemme de Zorn, autre équivalent de l'axiome du choix, dans l'article où il introduit ce dernier et en donne de nombreuses applications à l'algèbre[3].
Répondant à une question posée par Dana Scott, Wilfrid Hodges démontre en 1978 que le théorème de Krull équivaut à l'axiome du choix, dans la théorie de Zermelo-Fraenkel[2],[4]
Conséquences
Soit A un anneau commutatif non réduit à 0.
- Le spectre de A n'est pas vide.
- Le nilradical de A est l'intersection des idéaux premiers de A; plus généralement, le radical de tout idéal propre de A (i.e. distinct de A) est l'intersection des idéaux premiers qui le contiennent.
- Le théorème de Krull permet de construire une clôture algébrique d'un corps commutatif (des constructions alternatives se basent sur le théorème de Zermelo, équivalent au lemme de Zorn).
Notes et références
- ↑ W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 101 (1929), 729–744, accessible par le centre de numérisation de Göttingen.
- ↑ a , b et c Henry E. Heatherly (2004), Some ring theoretic equivalents to the axiom of choice, LA/MS Math. Assoc. Amer. Conf. Proc. (electronic).
- ↑ Max Zorn, (1935), A remark on method in transfinite algebra, Bull. Amer. Math. Soc. 41, 1935, pp 667-670, accès en ligne sur le site de la revue [1].
- ↑ Wilfrid Hodges (1978), Krull Implies Zorn, Journal London Mathematical Society, Volume s2-19, 2, pp 285-287 accès restreint
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