- Theoreme de Cauchy-Peano-Arzela
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Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà
Enoncé
Soient E un Espace de Banach de dimension finie,
une partie ouverte convexe de E. Soit I = [t0 − a,t0 + a] un intervalle de
(
0" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/49/1a389c0ad8696402123d6a747facdbd4.png" border="0">), soit f une fonction continue et bornée de
dans E. Soit
.
Soientet r > 0 tels que
.
Alors, il existe une solution au problème :
x' = f(t,x)
x(t0) = x0
définie sur l'intervalle [t0 − c,t0 + c] où, et à valeurs dans B.
N.B. : Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici.Exemples
Les exemples suivants donnés par Peano[1]
L'équation
où le second membre est continu en x=0 sans être lipschitzien, admet les solutions x = t3 et x = 0 qui s'annulent toutes les deux en t = 0 ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle [0,a] et qui prennent la valeur (t − a)3 pour t > a.
L'équation
toujours avec la condition x(0)=0, admet les cinq solutions (C étant une constante arbitraire positive)
- x(t) = t2
- x(t) = − t2
- x(t) = 0
Références
- ↑ Peano,Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires,Mathematische annalen, T37,1890,p227
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