Théorème de Cauchy-Arzela

Théorème de Cauchy-Arzela: Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà

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Enoncé

Soient $E$ un Espace de Banach de dimension finie, $H \subset E$ une partie ouverte convexe de $E$ . Soit $I = [t 0 - a, t 0 + a]$ un intervalle de $\mathbb{R}$ ( $t_0\in \mathbb{R},a>0$ ), soit $f$ une fonction continue et bornée de $I\times H$ dans $E$ . Soit $M= \sup_{(t,x)\in I\times H} \mid \mid f(t,x)\mid \mid$ .
Soient $x_0\in H$ et $r > 0$ tels que $B=B(x_0,r) \subset H$ .
Alors, il existe une solution au problème :
$x' = f (t, x)$
$x (t 0) = x 0$
définie sur l'intervalle $[t 0 - c, t 0 + c]$ où $c=\inf(a,\frac{r}{M})$ , et à valeurs dans $B$ .

N.B. : Contrairement à ce que permet de conclure le théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus restrictives, il n'y a pas unicité ici.

Exemples

Les exemples suivants donnés par Peano^[1]

L'équation $\frac{dx}{dt}=3x^{2/3}$ où le second membre est continu en x=0 sans être lipschitzien, admet les solutions $x = t 3$ et $x = 0$ qui s'annulent toutes les deux en $t = 0$ ainsi que les fonctions qui sont nulles dans l'intervalle [0,a] et qui prennent la valeur $(t - a) 3$ pour $t > a$ .

L'équation $\frac{dx}{dt}=\frac{4xt^3}{x^2+t^4}$ toujours avec la condition x(0)=0, admet les cinq solutions (C étant une constante arbitraire positive)

$x (t) = t 2$

$x (t) = - t 2$

$x (t) = 0$

$x(t)=C-\sqrt{C^2+t^4}$

$x(t)=\sqrt{C^2+t^4}-C$

Références

↑ Peano,Démonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires,Mathematische annalen, T37,1890,p227

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Catégories : Théorème de mathématiques | Équation différentielle

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