Transport parallèle

Transport parallèle

Connexion (mathématiques)

Transport parallèle sur une sphère

En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. La notion a été introduite par par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul en 1951. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite.

Sommaire

Connexion de Koszul

Article détaillé : Connexion de Koszul.

La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Nomizu en 1954[1].

Une connexion de Koszul est une association à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ vectoriel sur B, d'une section globale notée \nabla_Xs vérifiant :

  1. L'application X\mapsto \nabla_Xs soit C^{\infty}(M)-linéaire ; autrement dit, pour toute fonction régulière f, on a :
    \nabla_{f\cdot X}s=f\cdot\nabla_Xs.
  2. De plus, \nabla doit vérifier la relation de Leibniz :
    \nabla_{X}(f\cdot s)=df(X)\cdot s+f\cdot \nabla_X(s).

La relation de Leibniz démontre que la valeur de \nabla_Xs en un point b de B ne dépend que des variations de s au voisinage de b. La C^{\infty}(M)-linéarité implique que cette valeur ne dépend que de X(p).

Connexion d'Ehresmann

Article détaillé : Connexion d'Ehresmann.

Connexion de Levi-Civita

Article détaillé : Connexion de Levi-Civita.

Voir aussi

Notes et références

Notes

  1. ↑ Katsumi Nomizu, Invariant affine connections on homogeneous spaces, Amer. J. Math. 76 (1954), pp. 33-65.

Références

  • (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail des éditions]
  • Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine ; Riemannian Geometry [détail des éditions]
  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
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