Théorème d'Ostrowski

Pour les articles homonymes, voir Ostrowski.

En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur l'ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est topologiquement équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques.

Plus précisément et plus généralement^[1], le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non-ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme $x\mapsto|f(x)|^c$ , où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et $0<c\le 1$ . Or les valeurs absolues ultramétriques sur K sont celles induites par une valuation réelle, et pour K= $\mathbb{Q}$ les valuations réelles sont les valuations p-adiques.

Sommaire

1 Valeur absolue
2 Théorème d'Ostrowski
3 Complétés du corps des nombres rationnels
4 Notes
5 Références
6 Liens externes
7 Voir aussi

Valeur absolue

Article détaillé : Valeur absolue.

Soit $K$ un corps. Une valeur absolue (encore appelée norme de corps) sur $K$ est une application $|\cdot |$ de $K$ dans $\R_+$ vérifiant

$\forall x \in K,\ |x|=0\Longleftrightarrow x=0;$
$\forall (x,y) \in K^2,\ |x\times y|=|x|\times |y|;$
$\forall (x,y) \in K^2,\ |x+y| \leq |x|+|y|.$

Si la valeur absolue vérifie la condition

$\forall (x,y)\in K^2,\ |x+y| \leq \max(|x|,|y|);$

plus forte que la condition 3), alors la valeur absolue est dite ultramétrique.

Valeur absolue triviale

La valeur absolue triviale $|\cdot|_0$ sur $\mathbb{Q}$ est définie par

$|x|_0 = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & x = 0 \\ 1 & \mbox{si}& x \ne 0 \end{array}\right.$

Valeur absolue usuelle

La valeur absolue usuelle $|\cdot |_\infty$ sur $\mathbb{Q}$ est définie par

$|x|_\infty = \left\{ \begin{array}{lll} x & \mbox{si} & x \ge 0 \\ -x & \mbox{si}& x <0 \end{array}\right.$

Valeur absolue p-adique

Article détaillé : Nombre p-adique.

Pour un nombre premier $p$ , on dispose du résultat

$\forall x \in \mathbb{Q},\ \exists n \in \Z,\ \exists (a,b) \in (\Z^*)^2,\ a \wedge b \wedge p =1 \quad \mathrm{et} \quad x=p^n \frac{a}{b}$

La valeur absolue $p$ -adique $|\cdot |_p$ sur $\mathbb{Q}$ est alors définie par

$|x|_p = \left\{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & x = 0 \\ p^{-n} & \mbox{si} & x \ne 0 \end{array} \right.$

Elles sont toutes ultramétriques.

Valeurs absolues équivalentes

Deux valeurs absolues sur un corps $K$ sont dites topologiquement équivalentes si et seulement si elles définissent la même topologie (c'est-à-dire qu'elles définissent les mêmes ouverts). Ou encore qu'une suite d'éléments de $K$ converge pour la première valeur absolue si et seulement si elle converge pour la seconde.

Théorème d'Ostrowski

Théorème d'Ostrowski — Une valeur absolue non triviale sur $\mathbb{Q}$ est topologiquement équivalente à la valeur absolue usuelle $|\cdot |_\infty$ ou à l'une des valeurs absolues $p$ -adiques $|\cdot |_p$ où $p$ est un nombre premier.

Complétés du corps des nombres rationnels

Article détaillé : Espace complet#Complété d'un espace métrique.

Le théorème d'Ostrowski montre qu'il n'existe que deux types de complété du corps $\mathbb{Q}$ . Si on prend une valeur absolue équivalente à la valeur absolue usuelle, on construira un corps isomorphe à $\R$ . On pourra consulter la construction des nombres réels pour plus d'information.

Si on complète le corps $\mathbb{Q}$ par une valeur absolue p-adique, on obtient des corps complets très différents de celui des réels : les corps p-adiques. Cela ouvre les portes de l'analyse p-adique.

Notes

↑ Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions] p.36

Références

Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, American Mathematical Society, 1996, 1997, 2^e éd. (ISBN 978-0-8218-0429-2)
Nathan Jacobson, Basic algebra II, W H Freeman, 1989, 2^e éd. (ISBN 978-0-7167-1933-5)

Liens externes

Une démonstration du théorème d'Ostrowski

Voir aussi

Portail des mathématiques

Catégories :

Théorie des nombres
Théorème de mathématiques

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'Ostrowski de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Ostrowski — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Personnalités Alexander Ostrowski, (1893 1986), mathématicien ukrainien. Son nom a été donné à : Théorème d Ostrowski ; Prix Ostrowski, une… … Wikipédia en Français
Théorème de d'Alembert — Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th … Wikipédia en Français
Théorème de d’Alembert-Gauss — Théorème de d Alembert Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th … Wikipédia en Français
Théorème fondamental de l'algèbre — Théorème de d Alembert Gauss Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le th … Wikipédia en Français
Théorème de d'Alembert-Gauss — Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Jean le Rond D Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le théorème fondamental de l algèbre. Sa motivation est entièrement analytique, il r … Wikipédia en Français
Théorème de l'application conforme — En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de l application conforme, dû à Bernhard Riemann, assure que toutes les parties ouvertes simplement connexes du plan complexe (qui ne sont ni vides ni égales au plan tout… … Wikipédia en Français
Alexander Ostrowski — Pour les articles homonymes, voir Ostrowski. Alexander Ostrowski Alexander Ostrowski Naissance 25 … Wikipédia en Français
Théorie des équations (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Théorie des équations. La théorie des équations est la partie des mathématiques qui traite des problèmes posés par les équations polynomiales de tous les degrés. Se trouvent ainsi rassemblés les problèmes de… … Wikipédia en Français
Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… … Wikipédia en Français
Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Théorème d'Ostrowski

Sommaire