Théorie d'Artin-Schreier

Théorie d'Artin-Schreier

En mathématiques, la théorie d'Artin-Schreier (en) donne une description des extensions galoisiennes de degré p d'un corps de caractéristique p. Elle traite donc un cas inaccessible à la théorie de Kummer.

Extension d'Artin-Schreier

Soit K un corps de caractéristique p, et a un élément de ce corps. Le corps de décomposition du polynôme Xp-X+a au-dessus de K, est appelé extension d'Artin-Schreier. Si b est une racine de ce polynôme, alors tous les b+i pour i allant de 0 à p-1 sont p-racines distinctes. Le corps de décomposition est donc séparable, K-engendré par b, et une extension cyclique de degré p de K, un générateur du groupe de Galois étant le morphisme défini par b\mapsto b+1.

Par exemple, le corps fini à deux éléments admet comme extension d'Artin-Schreier le corps fini à 4 éléments, engendrée par le polynôme X2-X+1=X2+X+1.

Théorie d'Artin-Schreier

La théorie d'Artin-Schreier consiste en une réciproque au fait ci-dessus : toute extension cyclique de degré p d'un corps de caractéristique p est une extension d'Artin-Schreier. Ceci se démontre par exemple en utilisant le théorème 90 de Hilbert sous sa version additive.

Les extensions de degré p non galoisiennes ne peuvent être décrites à l'aide de cette théorie. Par exemple, l'extension obtenue en ajoutant une racine p-ème de l'indéterminée T (c'est-à-dire une racine du polynôme en l'indéterminée X, Xp-T, qui est inséparable) dans le corps \mathbb{F}_p(T) des fonctions à une variable au-dessus du corps premier à p éléments.

Une théorie analogue en caractéristique p à celle de la résolution par radicaux, doit donc autoriser des extensions d'Artin-Schreier. Pour obtenir des extensions d'ordre des puissances de la caractéristique, il convient utiliser la théorie des vecteurs de Witt.



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