Tanh

Tanh

Tangente hyperbolique

Graphe de la fonction tangente hyperbolique sur une partie de R

La tangente hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

Définition

La fonction tangente hyperbolique, notée tanh ou th est la fonction complexe suivante :

\begin{matrix} \tanh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {\sinh(z)} {\cosh(z)} \end{matrix}

sinh est la fonction sinus hyperbolique et cosh la fonction cosinus hyperbolique. Cette définition est analogue à celle de la fonction tangente comme rapport du sinus et du cosinus.

La tangente hyperbolique peut s'exprimer à l'aide de la fonction exponentielle :

\tanh(z)=\frac {e^z-e^{-z}} {e^z+e^{-z}} = \frac {e^{2z}-1} {e^{2z}+1}

Propriétés

Propriétés générales

Développement en série de Taylor

tanh est infiniment dérivable :

\tanh^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k \left \langle {n\atop k} \right \rangle

\left \langle {n\atop k} \right \rangle est le nombre de permutations de {1,...,n} dans lesquelles k éléments exactement sont plus grands que l'élément précédent (nombres d'Euler).

tanh possède donc un développement en série de Taylor en tout point :

\tanh z = z - \frac {z^3} {3} + \frac {2 z^5} {15} - \frac {17 z^7} {315} + \frac {62 z^9} {2835}+ \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {\tanh^{(2n+1)}(0)} {(2n+1)!} z^{2n+1}.

Développement en fraction continue

La restriction de tanh à \mathbb R admet un développement en fraction continue :

\tanh x=\frac {x} {1+\frac {x^2} {3+\frac {x^3} {5+\cdots} } }

Valeurs

Quelques valeurs de tanh :

  • \tanh(0) = 0 \,
  • \tanh(1) = \frac {e^2-1} {e^2+1}
  • \tanh(i) = i \tan(1) \,

Fonction réciproque

tanh admet une fonction réciproque, notée argtanh. Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments \left]-\infty ;-1\right[ et \left]1;+\infty \right[.

\operatorname{argtanh}(z) = \frac {1}{2} \left( \ln(1+z)-\ln(1-z) \right)

Pour x \in \left]-1;1 \right[, la restriction de tanh à \mathbb R admet une réciproque : \operatorname{argtanh}(x)=\frac {1}{2} \operatorname{ln}\left( \frac {1+x} {1-x} \right).

Voir aussi

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