Nombre d'Euler

Nombre d'Euler
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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec e, la base du logarithme naturel, aussi appelée occasionnellement nombre d'Euler, ni avec les nombres eulériens en combinatoire.

Les nombres d'Euler sont une suite E_n\, de nombres entiers positifs définis par le développement en série de Taylor suivant :

\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^{\infin} E_n \frac{x^n}{n!}

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres Zig-Zag.

Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous égaux à zéro. Ceux d'indice pair (suite A000364 de l'OEIS) sont positifs. Les premières valeurs sont :

Premiers nombres d'Euler

E0 = 1
E2 = 1
E4 = 5
E6 = 61
E8 = 1385
E10 = 50521
E12 = 2702765
E14 = 199360981
E16 = 19391512145
E18 = 2404879675441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :

\frac{1}{\cos x} = 1 + E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} + E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots

et aussi (avec des signes) dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

\frac{1}{\cosh x} = 1 - E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} - E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations Zig-Zag de taille paire. Une configuration Zig-Zag de taille n est une liste de n nombres réels z_1,\dots,z_n tels que

z_1 > z_2 < z_3 > z_4 \dots.

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.


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