- Série de Bertrand
-
Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand (du nom de Joseph Bertrand) la série à termes réels positifs suivante :
Sommaire
Condition de convergence
Énoncé
Théorème de Bertrand — Une série de Bertrand converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).
Cette condition nécessaire et suffisante est parfois résumée en : « le couple (α,β) est lexicographiquement postérieur à (1,1) ». Cela se réfère à l'ordre lexicographique, adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.
Démonstration par le critère intégral de Cauchy
La série de Bertrand a même comportement que l'intégrale en +∞ de la fonction
(définie et positive sur ]1,+∞[), sous réserve que cette fonction soit décroissante au-delà d'une certaine valeur.
Lorsque cette hypothèse de décroissance n'est pas réalisée, c'est-à-dire lorsque α<0 ou (α=0 et β<0), il se trouve qu'on a au contraire croissance à partir d'un certain rang donc la série est trivialement divergente.
Lorsqu'elle l'est, c'est-à-dire lorsque (α=0 et β≥0) ou α>0, la convergence de la série équivaut à l'intégrabilité en +∞ de la fonction ci-dessus, ou encore, par changement de variable y = ln x, de la fonction
- Si 1-α<0, cette fonction de y est intégrable en +∞ car elle est un O de e − γy pour n'importe quel γ∊]0,α-1[.
- Si α=1, elle est intégrable en +∞ si et seulement si β>1.
- Si 1-α>0, elle n'est pas intégrable en +∞ car pour n'importe quel γ∊]0,1-α[, la fonction y↦eγy (non intégrable en +∞) est un O de celle-là.
Démonstration plus élémentaire
- Premier cas : α > 1
On pose
0" border="0">
de sorte que
- α = 1 + 2h
On a alors
qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, et ce quel que soit β. D'où
ce qui prouve la convergence de la série étudiée.
- Deuxième cas : α < 1
On pose
0" border="0">
de sorte que
- α = 1 − 2h
On a alors
qui tend vers l'infini lorsque n tend vers l'infini, et ce quel que soit β. D'où
ce qui prouve la divergence de la série étudiée.
- Troisième cas : α = 1
On doit ici étudier la série de terme général
Si β ≤ 0, on a
et donc la série diverge.
Si β > 0, comme
est décroissante, la série étudiée converge si et seulement si
admet une limite lorsque a tend vers l'infini. Or, si β ≠ 1, f admet pour primitive
qui converge si et seulement si β > 1.
Enfin, si β = 1, f admet pour primitive
qui diverge lorsque x tend vers l'infini, ce qui termine la démonstration.
Exemples
La série harmonique en est un cas particulier (au premier terme près), pour α = 1 et β = 0 :
On sait que la série harmonique diverge, et que la série
converge si et seulement si α > 1 (série de Riemann). Bien sûr, si α > 1,
, cependant il existe des séries dont le terme général est négligeable devant
mais qui divergent.
La série de Bertrand permet alors d'exhiber un contre-exemple à l'implication erronée suivante :
converge. La « (1,1)-série de Bertrand », ie la série :
est divergente, d'après la proposition, alors que
.
Wikimedia Foundation. 2010.