Série de Bell

En théorie des nombres, les séries de Bell sont des séries formelles utilisées pour étudier les propriétés des fonctions arithmétiques. Elles ont été introduites et développées par Eric Temple Bell.

Définition

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell d'indice p de f :

$f_p(X)=\sum_{n=0}^{\infty} f(p^n)X^n~.$

Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si (et seulement si) pour tout entier premier p l'on a : $f p (X) = g p (X)$ .

$f_p(X)g_p(X)=h_p(X)~,$

$f_p(X)=\frac{1}{1-f(p)X}~.$

Voici quelques fonctions arithmétiques usuelles et leurs séries de Bell :

le neutre pour la convolution de Dirichlet, i.e. la fonction caractéristique $χ {1}$ du singleton ${1}$ : $(\chi_{\{1\}})_p(X)=1~$
la fonction puissance k-ième $I k$ (qui est complètement multiplicative) : $(I_k)_p(X)=\frac1{1-p^kX}$
la fonction de Möbius $μ$ : $\mu_p(X)=1-X~$
la fonction de Liouville $λ$ : $\lambda_p(X)=\frac1{1+X}$
la fonction φ d'Euler : $\varphi_p(X)=\frac{1-X}{1-pX}$
la fonction diviseur $σ k$ : $(\sigma_k)_p(X)=\frac1{1-\sigma_k(p)X+p^kX^2}$

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