Système d'Anosov

En théorie des systèmes dynamiques, un système d'Anosov est un système hyperbolique, qui présente une dynamique extrêmement chaotique.

Définition

Notion de système dynamique différentiel

Un système dynamique différentiel est défini par une application bijective de l'espace des phases du système sur lui-même, telle qu'à une condition initiale x₀ soit associé un et un seul état futur à l'instant t (condition de déterminisme) :

Lorsque le temps t varie, cette bijection engendre un flot sur Γ, c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre ϕ_t tel que :

Cette modélisation mathématique correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique, ainsi qu'au flot géodésique sur une variété riemannienne.

La propriété d'hyperbolicité

L'hyperbolicité de l'espace des phases a été mise en évidence par Dmitri Anosov par analogie avec le flot géodésique de surfaces à courbure négative de la géométrie hyperbolique.

Typiquement pour un flot hamiltonien, l'hypersurface d'énergie constante S_E de l'espace des phases admet presque partout une décomposition du type :

où :

• E₀ est une variété à une dimension dans la direction du flot.

• E_S est le sous-espace des directions stables, directions perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a contraction exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des exposants de Lyapounov négatifs (cette variété est donc instable vers le passé.)

• E_I est le sous-espace des directions instables, directions également perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a dilatation exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des exposants de Lyapounov positifs (cette variété est donc stable vers le passé.).

Le fait qu'il existe nécessairement certaines directions contractantes complémentaires aux directions dilatantes peut être vu comme une conséquence du théorème de Liouville, qui dit que le flot hamiltonien préserve le volume dans l'espace des phases.

Pour un système chaotique dissipatif, il n'y a pas nécessairement de directions contractantes partout dans l'espace des phases, mais il existe en général au moins un sous-ensemble « attracteur » dans cet espace des phases sur lequel la dynamique est hyperbolique presque partout.

Articles connexes

• Système dynamique
• Théorie du chaos
• Théorie ergodique
• Sensibilité aux conditions initiales

Bibliographie

• D. Anosov ; Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature, Proceedings of the Steklov Mathematical Institute 90(1) (1967), 1-235.

Ouvrages d'initiation

• John Hubbard et Beverly West ; Équations différentielles et systèmes dynamiques, Cassini (1999), ISBN 284225015X.

• Grégoire Nicolis & Ilya Prigogine ; A la rencontre du complexe, Collection Philosophie d'aujourd'hui, Presses Universitaires de France (1992), ISBN 2-13-043606-4.

• Boris Hasselblatt & Anatole Katok ; A First Course in Dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press (2003), ISBN 0-521-58750-6.

• Anatole Katok & Boris Hasselblatt ; Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (With a supplement by Anatole Katok and Leonardo Mendoza), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 54, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-57557-5.

Ouvrages plus techniques

• Stephen Smale, The mathematics of time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics, Springer-Verlag, 1980 (ISBN 978-0-387-90519-8)

• Boris Hasselblatt (de) et Anatole Katok (de) (eds.), Handbook of Dynamical Systems, Elsevier. Vol. 1A, 2002 (ISBN 978-0-444-82669-5) ; Vol. 1B, 2005 (ISBN 978-0-444-52055-5)

• Bernold Fiedler (de) (ed.), Handbook of Dynamical Systems. Vol. 2: Applications, Elsevier, 2002 (ISBN 978-0-444-50168-4) ; Vol. 3: Geometric Methods of Differentiable Dynamics, Elsevier, 2010 (ISBN 978-0-444-53141-4)

• Leonid Bunimovich (en), Roland Lwowitsch Dobruschin (de), Iakov Sinaï, Anatoly Vershik (de) & al., Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications, Series: Encyclopaedia of Mathematical Sciences 100, Volume package: Mathematical Physics, Springer-Verlag, 2^e édition, 2000 (ISBN 978-3-540-66316-4)

Bibliothèque virtuelle

• Paul Manneville ; Systèmes dynamiques et chaos, (1998), 233 pages,. Cours donné par l'auteur (LadHyX, Ecole Polytechnique) aux DEA de Physique des Liquides et de Mécanique. Texte complet disponible ici.

• David Ruelle ; Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publ. Math. IHES 50 (1979), 27-58. Texte complet disponible au format pdf.

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