- Attracteur
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Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations. Constituants de base de la théorie du chaos, cinq types d'attracteurs sont définis : ponctuel, ponctuel périodique, périodique, étrange, spatial.
Sommaire
Définition
Article détaillé : Flot (mathématiques).Soit E un espace de Banach muni d'une mesure, Ω un ouvert de E et x' = f(x) une équation différentielle autonome telle que f soit une fonction de Ω dans E localement lipschitzienne. L'équation différentielle définit ainsi un flot unique et continu[1]. Si x est un élément de Ω, ω(x) désigne l'ensemble ω-limite de l'orbite de x et α(x) son ensemble α-limite. Les termes de flot, orbite, ensembles ω-limite et α-limite sont explicités dans l'article détaillé.
L'attracteur futur est le plus petit ensemble contenant tous les ensembles ω(x) si x décrit Ω, à l'exception, peut-être d'un ensemble de mesure nulle. L'attracteur passé correspond à la même définition, mais cette fois-ci avec les ensembles α-limite[2].
Une définition
Des travaux actuels[3],[4] de tentative de classification générale des systèmes dynamique sur une variété compacte font référence à la définition suivante[5] :
Un attracteur est un compact invariant Ω dont un des points est d'orbite dense dans Ω et tel que son bassin, c'est-à-dire l'ensemble des points de l'espace dynamique dont l'ensemble ω-limite est inclus dans Ω, est de mesure de Lebesgue positive.
Intérêt
Il n'est pas toujours possible de calculer finement le comportement d'un système composé d'un très grand nombre d'éléments qui interagissent (par exemple un plasma), mais si on arrive à en déterminer un attracteur, on pourra dans une certaine mesure traiter le problème en travaillant sur celui-ci. Cette méthode se montre utile, en ce qui concerne les plasmas, dans les calculs de confinement des tokamaks.
Quelques attracteurs spécifiques expliquent aussi des cas de passage d'un état chaotique à un état ordonné, comme c'est le cas pour la fourmi de Langton ou pour les Planeur dans le jeu de la vie de Conway. En règle générale, la connaissance des attracteurs permet de savoir partiellement (c’est-à-dire ici au moins statistiquement) ce qui va émerger du chaos, alors que la connaissance des éléments individuels du système chaotique n'y aide pas particulièrement.
Annexes
Bibliographie
- Edward Lorenz, The Essence of Chaos, 1996. ISBN 0-295-97514-8
- James Gleick, Chaos : Making a New Science, 1988 ISBN 0-295-97514-8
Notes et références
- Cette propriété est démontrée dans l'article détaillé
- Tewfik Sari Introduction aux systèmes dynamiques et applications à un modèle cosmologique, in Géométries et Dynamiques, Khaled Sadallah et Abdelghai Zeghib (éditeurs), Hermann, Travaux en Cours 70 (2008) 259-274 (page 264).
- http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf
- A Global View of Dynamics and a Conjecture on the Denseness of Finitude of Attractors. Jacob Palis. Astérisque. França: , v.261, p.339 - 351, 2000.
- Qui est à l'origine de cette définition ?
Voir aussi
Articles connexes
- flot (mathématiques)
- Théorie du chaos
- Système dynamique de Lorenz
- Attracteur de Lorenz
- Attracteur de Hénon
- Attracteur de Rössler
- Répulseur
- Fourmi de Langton
- Jeu de la vie
Liens externes
Catégories :- Méthode mathématique de la physique
- Régulation
- Systèmes dynamiques
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