Symétrisation de Steiner

Symétrisation de Steiner
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En géométrie affine, la symétrisation de Steiner est une géométrie visant à remplacer une partie quelconque d'un espace affine par une partie admettant des propriétés de symétrie. Cette transformation a été utilisée pour démontrer certaines inégalités isopérimétriques.

Elle est nommée ainsi en l'honneur de Jakob Steiner.

Définition

Dans un espace affine, soit H un hyperplan et δ une direction non parallèle à H. Soit K une partie de l'espace affine. On définit alors le symétrisé de Steiner stH,δ(K) par :

pour toute droite D parallèle à δ :

  • si K \cap D = \empty alors st_{H,\delta}(K) \cap D = \empty,
  • si K \cap D \neq \empty alors st_{H,\delta}(K) \cap D est le segment porté par D, de milieu situé en H et de longueur, sur D, égale à celle de K \cap D.

Conséquences

  • On peut montrer que la symétrisation de Steiner n'est pas continue pour la distance de Hausdorff.
  • Pour toute partie K, stH,δ(stH,δ(K)) = stH,δ(K)
  • La symétrisation de Steiner conserve le volume, et elle n'augmente pas le diamètre.
  • Elle conserve également la convexité.
  • Inégalité isodiamétrique de Bieberbach:

Quel que soit K compact dans un espace euclidien de dimension n, on a

V(K) \leq 2^{-n} \beta(n) (diam(K))^n~,

où β(n) désigne le volume de la boule unité dans l'espace considéré.

Sources


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Symétrisation de Steiner de Wikipédia en français (auteurs)

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