Symetrisation de Steiner

Symetrisation de Steiner

Symétrisation de Steiner

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La symétrisation de Steiner est une opération visant à transformer un compact K en un autre compact. Cette transformation a été utilisé pour démontrer certaines inégalités isopérimétriques dans les cas généraux.

Définition

Dans un espace affine euclidien, soit H un hyperplan et σH la symétrie par rapport à cet hyperplan. Soit K un compact. On définit alors le symétrisé de Steiner stH(K) comme :

\forall D \perp H:

  • soit K \cap D = \empty et st_H(K) \cap D = \empty
  • soit K \cap D = \empty et st_H(K) \cap D = \empty
  • soit K \cap D \neq \empty et st_H(K) \cap D est alors un segment porté par D, de milieu situé en K \cap H et de longueur, sur D, égale à celle de K \cap D.

Conséquences

  • On peut montrer que symétrisation de Steiner n'est pas continue pour la Distance de Hausdorff.
  • stH(stH(K)) = stH(K).
  • La symétrisation de Steiner conserve le volume, et elle n'augmente pas le diamètre.
  • Inégalité isodiamétrique de Bieberbach:

Quel que soit K compact dans un espace euclidien de dimension n, on a V(K) \leq 2^{-n} \beta(n) (diam(K))^n, avec β(n) le volume de la boule unité dans l'espace considéré.

Sources

  • Géométrie, Tome 1, Marcel Berger, Nathan
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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