Automorphisme intérieur

Automorphisme intérieur

Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.

Soit G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme défini par :

\forall x \in G,\quad \iota_g(x)=gxg^{-1}.

Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Sommaire

Définitions

Automorphisme intérieur

  • Soit G un groupe. L'application de G dans G ι est dit automorphisme intérieur si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :
\exists g \in G,\ \forall x \in G, \quad \iota(x)=gxg^{-1}.

On parle alors d'automorphisme intérieur par g, et l'on utilise parfois la notation ιg.

On remarque qu'un automorphisme intérieur est un morphisme bijectif, en effet :

\forall (x, y) \in G^2, \quad \iota_g(xy)=gxyg^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=\iota_g(x)\iota_g(y) .

Un calcul tout aussi direct donne :

\iota_{gh}=\iota_g\circ\iota_h

En particulier, ιg est un automorphisme du groupe G, dont l'inverse est ιg-1.

Si g est un élément central de G (ie. un élément du centre Z(G) de G), l'automorphisme intérieur par g est l'identité. Plus généralement, l'ensemble des points fixes de ιg est exactement le centralisateur de g.

  • Si x et y sont deux éléments de G tel que x est l'image de y par un automorphisme intérieur, alors x et y sont dits conjugués. De même, deux sous-groupes de G qui sont images l'un de l'autre par automorphisme intérieur sont dits conjugués.

Remarque : Si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.

Sous-groupe normal

Article détaillé : Sous-groupe normal.

Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.

Groupe des automorphismes intérieurs

L'application \iota:g\mapsto\iota_g est un morphisme de groupes de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de Aut(G), noté Int(G). Par le théorème d'isomorphisme, le morphisme surjectif \iota:G\rightarrow \mathrm{Int}(G) induit un isomorphisme :

G/Z(G)\rightarrow \mathrm{Int}(G).

Si ϕ est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, un calcul donne:

\forall x\in G,\quad \phi\iota_g\phi^{-1}(x)=\phi\left[g\phi^{-1}(x)g^{-1}\right]=\phi(g)x\phi(g)^{-1}

d'où

ϕιgϕ − 1 = ιϕ(g).

Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur. De fait, Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G). Pour résumer, on dispose donc des suites exactes suivantes :

1\rightarrow Z(G)\rightarrow G\rightarrow \mathrm{Int}(G)\rightarrow 1

et

1\rightarrow \mathrm{Int}(G)\rightarrow \mathrm{Aut}(G)\rightarrow \mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Int}(G)\rightarrow 1.

Le quotient de Aut(G) par Int(G) est noté Out(G), ce sont les automorphimes extérieurs de G.

Groupe d'automorphisme d'un sous-groupe normal

Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif \mathrm{Int} (G)\rightarrow \mathrm{Aut} (H). La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.

La composition par ι donne un morphisme G\rightarrow \mathrm{Aut}(H), dont le noyau est le commutateur de H.


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