Somme de Borel

Somme de Borel

Sommation de Borel

En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d'une série. En particulier, elle donne une définition d'une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même lorsque la série est divergente. Ce concept est notamment très utile en théorie des perturbations, une branche des mathématiques très utilisée dans les calculs de physiques. Ce procédé de sommation fut d'abord étudié par le mathématicien Émile Borel.

Sommaire

Definition

Soit y la série formelle des puissances de z :

y \ = \ \sum_{k = 0}^\infty \ y_k \ z^{-k}

On définit la transformée de Borel \mathcal{B}y de y par :

\mathcal{B}y \ = \ \sum_{k=1}^\infty \ \frac{y_k}{(k-1)!} \ t^{k-1}

Supposons alors que :

  1. \mathcal{B}y possède un rayon de convergence non nul comme fonction de t ;
  2. \mathcal{B}y peut être prolongée analytiquement en une fonction \hat{y}(t) sur la droite réelle positive ;
  3. la fonction \hat{y}(t) croit au plus exponentiellement sur la droite réelle positive.

Alors, y est dite Borel-sommable, et la somme de Borel de y est donnée par la transformée de Laplace de la fonction \hat{y}(t) ; cette transformée existe compte-tenu de la condition (3) ci-dessus

y^{(0)}(z)=a_0+\int_0^{+\infty} e^{-zt} \hat{y}(t)d t

Remarque

La transformation de Borel n'est autre que la série obtenue en appliquant une transformée de Laplace inverse terme à terme à la série initiale. Lorsque le calcul des transformées de Laplace peut se faire terme à terme, la sommation au sens de Borel donne le même résultat que la sommation usuelle des séries. Mais la somme de Borel est définie dans de nombreux cas où cette dernière ne l'est pas.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Sommation de Borel ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Somme de Borel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • BOREL (É.) — Grand mathématicien, mais aussi homme politique et philosophe, Émile Borel laisse une œuvre scientifique très variée. Son talent s’exprime dans l’art d’ouvrir des voies nouvelles, d’y faire des premiers pas, assez importants pour attirer… …   Encyclopédie Universelle

  • Somme infinie — Série (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Série. En mathématiques, la série constitue une généralisation de la notion de somme, pour une succession infinie de termes. L étude des séries consiste à effectuer la somme d un nombre fini …   Wikipédia en Français

  • Somme partielle — Série (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Série. En mathématiques, la série constitue une généralisation de la notion de somme, pour une succession infinie de termes. L étude des séries consiste à effectuer la somme d un nombre fini …   Wikipédia en Français

  • Sommabilité de Borel — Sommation de Borel En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d une série. En particulier, elle donne une définition d une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même… …   Wikipédia en Français

  • Sommation de borel — En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d une série. En particulier, elle donne une définition d une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même lorsque la série… …   Wikipédia en Français

  • Sommation de Borel — En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d une série. En particulier, elle donne une définition d une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même lorsque la série… …   Wikipédia en Français

  • Lemme de Borel-Cantelli — Théorème de Borel Cantelli Sommaire 1 Introduction 2 Limite supérieure d ensembles 3 Théorème de Borel Cantelli (théorie de la mesure) 4 …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Borel-Cantelli — Théorème de Borel Cantelli Sommaire 1 Introduction 2 Limite supérieure d ensembles 3 Théorème de Borel Cantelli (théorie de la mesure) 4 …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Borel-Cantelli —  Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel ni Lemme de Borel Carathéodory. Le théorème de Borel Cantelli ou lemme de Borel Cantelli, nommé d après les mathématiciens Émile Borel et Francesco Paolo Cantelli, est un résultat de théorie… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de borel-cantelli — Sommaire 1 Introduction 2 Limite supérieure d ensembles 3 Théorème de Borel Cantelli (théorie de la mesure) 4 …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”