Sommation de borel

Sommation de borel

Sommation de Borel

En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d'une série. En particulier, elle donne une définition d'une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même lorsque la série est divergente. Ce concept est notamment très utile en théorie des perturbations, une branche des mathématiques très utilisée dans les calculs de physiques. Ce procédé de sommation fut d'abord étudié par le mathématicien Émile Borel.

Sommaire

Definition

Soit y la série formelle des puissances de z :

y \ = \ \sum_{k = 0}^\infty \ y_k \ z^{-k}

On définit la transformée de Borel \mathcal{B}y de y par :

\mathcal{B}y \ = \ \sum_{k=1}^\infty \ \frac{y_k}{(k-1)!} \ t^{k-1}

Supposons alors que :

  1. \mathcal{B}y possède un rayon de convergence non nul comme fonction de t ;
  2. \mathcal{B}y peut être prolongée analytiquement en une fonction \hat{y}(t) sur la droite réelle positive ;
  3. la fonction \hat{y}(t) croit au plus exponentiellement sur la droite réelle positive.

Alors, y est dite Borel-sommable, et la somme de Borel de y est donnée par la transformée de Laplace de la fonction \hat{y}(t) ; cette transformée existe compte-tenu de la condition (3) ci-dessus

y^{(0)}(z)=a_0+\int_0^{+\infty} e^{-zt} \hat{y}(t)d t

Remarque

La transformation de Borel n'est autre que la série obtenue en appliquant une transformée de Laplace inverse terme à terme à la série initiale. Lorsque le calcul des transformées de Laplace peut se faire terme à terme, la sommation au sens de Borel donne le même résultat que la sommation usuelle des séries. Mais la somme de Borel est définie dans de nombreux cas où cette dernière ne l'est pas.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Sommation de Borel ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sommation de borel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Sommation de Borel — En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d une série. En particulier, elle donne une définition d une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même lorsque la série… …   Wikipédia en Français

  • BOREL (É.) — Grand mathématicien, mais aussi homme politique et philosophe, Émile Borel laisse une œuvre scientifique très variée. Son talent s’exprime dans l’art d’ouvrir des voies nouvelles, d’y faire des premiers pas, assez importants pour attirer… …   Encyclopédie Universelle

  • Sommabilité de Borel — Sommation de Borel En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d une série. En particulier, elle donne une définition d une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même… …   Wikipédia en Français

  • Somme de Borel — Sommation de Borel En mathématiques, la sommation de Borel est une généralisation de la notion usuelle de sommation d une série. En particulier, elle donne une définition d une grandeur qui se comporte en de nombreux aspects comme la somme, même… …   Wikipédia en Français

  • Sommation de Cesàro — Lemme de Cesàro En analyse réelle ou complexe, la moyenne de Cesàro d une suite (an) est la suite obtenue en effectuant la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite. Le nom de Cesàro provient du mathématicien italien Ernesto Cesàro.… …   Wikipédia en Français

  • Méthode de sommation — Série divergente En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence… …   Wikipédia en Français

  • Émile Borel — Pour les articles homonymes, voir Borel. Émile Borel Émile Borel (1932) …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Borel —  Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel Cantelli ni Théorème de Borel Lebesgue. En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2] …   Wikipédia en Français

  • Serie divergente — Série divergente En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence… …   Wikipédia en Français

  • Série divergente — En mathématiques, une série infinie est dite divergente si la suite de ses sommes partielles n est pas convergente. En ce qui concerne les séries de nombres réels, ou de nombres complexes, une condition nécessaire de convergence est que le terme… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”