Résolution d'un triangle

En géométrie, la résolution d'un triangle consiste en la détermination des différents éléments d'un triangle (longueurs des côtés, mesure des angles, aire) à partir de certains autres. Historiquement, la résolution des triangles fut motivée

en cartographie, pour la mesure des distances par triangulation ;
en géométrie euclidienne chez les grecs, pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie.
en navigation, pour le point, qui utilise des calculs de coordonnées terrestres et astronomiques (trigonométrie sphérique).

Aujourd'hui, la résolution des triangles continue d'être utilisée dans un grand nombre de problèmes faisant intervenir la triangulation (architecture, relevés cadastraux, vision binoculaire) et, plus généralement, la trigonométrie (astronomie, cartographie).

En géométrie euclidienne, la donnée de trois des éléments du triangles, dont au moins un côté, est nécessaire et suffisante à la résolution du triangle, l'un des cas de résolution pouvant admettre deux solutions. En géométrie sphérique ou hyperbolique, la donnée des trois angles est également suffisante. La résolution fait intervenir la trigonométrie, en particulier certaines relations classiques dans le triangle comme le théorème d'Al-Kashi, la loi des sinus, la loi des tangentes, et la somme de ses angles.

Histoire

Cas de résolution en géométrie euclidienne

La résolution d'un triangle en géométrie euclidienne utilise un certain nombre de relations entre éléments du triangle. Les plus souvent utilisées sont

le théorème d'Al-Kashi ;
la formule de Héron ;
la loi des sinus ;
la loi des tangentes ;
la somme des angles d'un triangle vaut π rad soit 180 °,

bien qu'il soit également possible d'utiliser d'autres relations pour aboutir à une solution.

Ci-dessous sont listés les différents cas de figure en fonction des trois éléments connus parmi les trois angles et les trois côtés. Les formules analytiques sont données pour les côtés et/ou les angles inconnus, ainsi que l'aire S. Elles doivent être adaptées pour une détermination numérique car, prises telles quelles, elles donnent des erreurs importantes pour les triangles « en épingle », c'est-à-dire dont un des côtés est petit par rapport aux autres et les triangles « presque rectangles », c'est-à-dire dont un des angles fait environ 90°.

Les trois côtés

On considère un triangle dont les trois côtés a, b et c sont connus. Les angles sont déduits à partir du théorème d'Al-Kashi et l'aire, de la formule de Héron :

$\alpha = \arccos\left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)$
$\beta = \arccos\left( \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \right)$
$\gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)$
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , avec $p=\frac12(a+b+c)$

Un angle et les deux côtés adjacents

On considère un triangle dont l'angle γ est connu, ainsi que les deux côtés adjacents a et b. Le dernier côté s'obtient grâce au théorème d'Al-Kashi, les deux angles manquants par la loi des tangentes et le complément à π, et l'aire par la formule du produit vectoriel :

$c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$
$\alpha = \frac\pi2 - \frac\gamma2 + \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)$
$\beta = \frac\pi2 - \frac\gamma2 - \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)$
$S = \frac12 ab\sin\gamma$

Un angle, le côté opposé et un côté adjacent

On considère un triangle dont un angle β est connu, ainsi qu'un côté adjacent de cet angle c et le côté opposé b. Le deuxième angle γ s'obtient par la loi des sinus, le dernier angle α par complément à π et le dernier côté par la loi des sinus :

$\gamma = \arcsin \left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$\alpha = \pi-\beta-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$a = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta$
$S = \frac 12c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta\right)\sin\beta$

Si β est aigu et que b < c, il existe une seconde solution :

$\gamma = \pi-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$\alpha = -\beta + \arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$a = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}$
$S = \frac 12 c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}-c\cos\beta\right)\sin\beta$

La résolution n'est pas possible pour toutes les valeurs des paramètres et que la condition suivante doit être réalisée :

$b > c \sin\beta\,$ .

Deux angles et le côté commun

On considère un triangle dont un côté c et les deux angles α et β qui le bordent sont connus. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

$a = \frac {c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$
$b = \frac {c\sin\beta}{ \sin(\alpha+\beta)}$
$\gamma = \pi-\alpha-\beta\,$
$S = \frac12 c^2 \, \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

Deux angles et un côté non commun

On considère un triangle dont deux angles α et β sont connus, ainsi qu'un côté non commun à ces deux angles a. Le dernier angle s'obtient par complément à π et les deux autres côtés par la loi des sinus :

$b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}$
$c = \frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}$
$\gamma = \pi-\alpha-\beta\,$
$S = \frac12 a^2 \, \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin\beta}{\sin\alpha}$

Cas de résolution en géométrie sphérique

La résolution d'un triangle en géométrie sphérique (géométrie non-euclidienne) est légèrement différente du cas euclidien, car la loi des sinus ne permet pas d'obtenir un côté de manière univoque — uniquement son sinus. De plus, un triangle sphérique dont les trois angles sont connus est soluble, contrairement à un triangle du plan euclidien et la solution est unique.

Les formules utilisées pour résoudre un triangle sphérique sont :

les généralisations du théorème d'Al-Kashi (variantes portant sur les angles et sur les côtés) ;
le théorème de l'Huilier ;
les analogies de Napier ;
la somme des angles d'un triangle vaut π plus l'excès E (=S/R²).