- Relation transitive
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Transitivité (mathématiques)
En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Une relation binaire
définie sur un ensemble E est transitive quand à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z de E tels que x et y sont en relation, ainsi que y et z, alors x et z sont en relation. Plus formellement :
.
Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.»
On en déduit qu'une relation sur E n'est pas transitive si et seulement s'il existe un triplet d'éléments de E qui fournit un contre-exemple à la transitivité : x et y sont en relation, ainsi que y et z, mais pas x et z. Plus formellement :
.
On dit alors que la relation binaire
est non-transitive. Cette propriété, qui est la simple négation de la transitivité, ne doit pas être confondue avec la propriété suivante :
.
On dit parfois d'une telle relation qu'elle est anti-transitive (cette propriété est moins utile et moins courante que la transitivité, le vocabulaire n'est pas forcément bien établi). Remarquez que les propriétés de non-transitivité et d'anti-transitivité ne sont pas comparables (aucune des deux n'entraîne l'autre), et qu'une relation, même non vide, peut très bien être transitive et anti-transitive (il suffit qu'il n'y ait pas de triplet (x, y z) vérifiant x R y et y R z).
Sommaire
Exemples
- Les relations = ,
et
sont parmi quelques unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si a = b et si b = c alors automatiquement a = c.
- La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.
- De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple,
ou encore tout diviseur naturel d'un diviseur naturel de n divise n.
- Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans
. Cela veut dire que si
et si
, alors
.
Exemple de non-transitivité
- La relation
n'est pas transitive, c'est-à-dire
et
ne permet pas de dire que
.
Exemple d'anti-transitivité
- La relation "est le père de" est anti-transitive : si (a est le père de b) et (b est le père de c), alors (a N'est PAS le père de c).
Voir aussi
- Portail de la logique
- Portail des mathématiques
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