- Rayon spectral
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Si A est un endomorphisme sur un espace de Banach complexe E, on appelle rayon spectral de A, le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de A. Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de A.
En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes λ1,λ2,...,λn, le rayon spectral est égal à
.
Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral ρ(A) d'un endomorphisme A est donné par la formule
. Et plus précisément,
pour
.
Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H,
.
Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice
a un rayon spectral 0, mais
donc
0=\rho (M) " border="0"> (plus précisément,
car nous avons
).
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