Rayon spectral

Rayon spectral

Si A est un endomorphisme sur un espace de Banach complexe E, on appelle rayon spectral de A, le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de A. Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de A.

En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes λ1,λ2,...,λn, le rayon spectral est égal à \max_{i}{\left| \lambda_i \right|}.

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral ρ(A) d'un endomorphisme A est donné par la formule \rho(A) = \lim_{+\infty} \|A^n\|^{1/n}. Et plus précisément, \|A^k\|\sim\rho(A)^k pour k\rightarrow \infty.\,.

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, \|A\|^2=\rho (A^*A) .

Le rayon spectral peut donc être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice M =\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} a un rayon spectral 0, mais M\neq 0 donc \|M\|>0=\rho (M) (plus précisément, \|M\|=1 car nous avons \|M\|^2 = \|^{\operatorname t}M\ M \| =\rho(^{\operatorname t}M\ M )=1).

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