- Valeur spectrale
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Soit E un espace de Banach, soit u un endomorphisme continu de E, on dit que λ est une valeur spectrale de u, si l'endomorphisme u − λId n'a pas un inverse qui soit un endomorphisme continu.
Si E est de dimension finie, tous les endomorphismes sur E sont continus, de plus un endomorphisme injectif est bijectif, par conséquent la notion de valeur spectrale se confond avec celle de valeur propre.
Dans le cas général, si u − λId a un inverse alors cet inverse est automatiquement linéaire, et (par le théorème de l'application ouverte) continu. Cette précision peut donc être ôtée de la définition initiale (elle n'intervient à nouveau que lorsqu'on cherche à étendre la définition à un opérateur u non borné) :
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- les valeurs spectrales de u sont simplement les λ tels que u − λId ne soit pas bijectif.
Les valeurs propres correspondent au cas u − λId non injectif. C'est parfois le seul cas :
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- pour un opérateur compact, toute valeur spectrale non nulle est valeur propre.
Le cas (non disjoint) u − λId non surjectif peut se reformuler en : son image est non fermée ou non dense (à nouveau, ce "ou" est non exclusif). Or un opérateur borné T est à la fois injectif et d'image fermée si et seulement s'il est borné inférieurement, c'est-à-dire si et seulement s'il existe une constante C>0 telle que pour tout vecteur x, la norme de Tx soit supérieure ou égale à celle de Cx. Inversement, T est non injectif ou d'image non fermée s'il n'est pas borné inférieurement, ce qui équivaut à l'existence d'une suite de vecteurs unitaires xn tels que Txn→0. Les λ tels que u − λId ne soit pas borné inférieurement s'appellent les valeurs propres approchées de u. On peut donc reformuler :
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- les valeurs spectrales de u sont ses valeurs propres approchées et les λ tels que l'image de u − λId ne soit pas dense.
Une valeur spectrale peut vérifier simultanément ces deux conditions. Les valeurs spectrales résiduelles (celles qui ne sont pas valeurs propres approchées) sont difficiles à caractériser, mais on dispose du théorème suivant :
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- pour un opérateur normal sur un espace de Hilbert, les seules valeurs spectrales sont les valeurs propres approchées.
Un exemple de valeur spectrale résiduelle : pour une isométrie non surjective (par exemple l'opérateur sur
qui envoie 
sur 
), 0 n'est pas valeur propre approchée mais est valeur spectrale résiduelle.Articles connexes
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